Winkel zwischen Vektoren < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:12 Do 02.12.2010 | | Autor: | kickerle |
Hallo zusammen,
kurze Frage zum Verständniss: Wenn ich zwei Vektoren [mm]v_1,v_2[/mm] habe im [mm]\mathbb R^n[/mm] und der arccos des Winkels zwischen [mm]v_1[/mm] und[mm] v_2 [/mm] ist -1, sprich der winkel zwischen [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm] beträgt 180 Grad, liegen dann [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2 [/mm]in einem 1 dimensionalen Unterraum?
Zumindest für n=2,3, ist die Aussage ja richtig.
Wäre nett wenn mir das jemand beantworten könnte.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:30 Do 02.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen,
>
> kurze Frage zum Verständniss: Wenn ich zwei Vektoren
> [mm]v_1,v_2[/mm] habe im [mm]\mathbb R^n[/mm] und der arccos des Winkels
Du meinst den cos des Winkels !
> zwischen [mm]v_1[/mm] und[mm] v_2[/mm] ist -1, sprich der winkel zwischen [mm]v_1[/mm]
> und [mm]v_2[/mm] beträgt 180 Grad, liegen dann [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2 [/mm]in
> einem 1 dimensionalen Unterraum?
> Zumindest für n=2,3, ist die Aussage ja richtig.
Ja , das gilt auch allgemein:
Auch im abstrakten Fall ist durch
[mm] \cos\varphi=\frac{\langle x,y \rangle}{\sqrt{\langle x, x\rangle} \cdot \sqrt{\langle y,y\rangle}}
[/mm]
der Winkel [mm] \varphi [/mm] zweier Vektoren x und y definiert
ist $| [mm] \cos\varphi=1|$, [/mm] so steht in der Cauchy - Schwarzschen Ungl.
$ [mm] \left|\langle x,y \rangle\right|^2 \leq \langle [/mm] x, [mm] x\rangle \cdot \langle y,y\rangle [/mm] $
das "=" - Zeichen. Damit sind x und y linear abhängig.
FRED
>
> Wäre nett wenn mir das jemand beantworten könnte.
|
|
|
|
