Winkel zwischen Gerade+Ebene < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:49 So 13.05.2007 | | Autor: | fl4x |
| Aufgabe | | Berechne den Winkel zwischen v: (1|-1|-1) und n: (0|0|1) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo! Und zwar haben wir in der Schule die Formel cos [mm] \alpha [/mm] = v*n/(|v|*|n|) gerlent. Wenn der Winkel größer als 90° ist, muss man ihn von 180° abziehen um das ergebnis zu bekommen, wenn er <90° ist, dann ist das schon die Lösung.
Nun steht aber hier (http://sites.inka.de/picasso/Schnurr/Schnittwinkel.html), dass sin [mm] \alpha [/mm] = |v*n|/(|v|*|n|) ist. Da komme ich aber zu unterschiedlichen Ergebnissen. Mit der Formel von der Seite komme ich auf 35,2° und mit meiner Formel auf 125,26° (bzw. 54,74° da 125,26°>90°).
Was ist nun Falsch? Meine Variante war in meiner Matheklausur richtig und ich habe für die Aufgabe auch volle Punktzahl bekommen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:08 So 13.05.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
du hast also als Normalenvektor [mm] \vec{n}=\vektor{0\\0\\1} [/mm] gegeben.
Als Richtungsvektor der Gerade hast du [mm] \vec{v}=\vektor{1\\-1\\-1} [/mm] gegeben.
Das macht dann für [mm] \vec{n}*\vec{v}=-1
[/mm]
[mm] |\vec{n}|=1
[/mm]
[mm] |\vec{v}|=\wurzel{3}
[/mm]
Macht also:
[mm] sin\alpha=\bruch{-1}{\wurzel{3}}
[/mm]
Macht also: [mm] \alpha\approx-35,26°
[/mm]
Der Winkel ist negativ, weil du hier einmal gegen den Uhrzeigersinn drehst.
Dein Fehler war wohl hier, dass du den Cosinus genommen hast, und nicht den Sinus, wenn bei dem Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene muss man den Sinus benutzen!
Die Alternative wäre, wenn man die Schnittwinkel brechnet, direkt den Betrag des Skalarproduktes zu nehmen, denn dort kommt dann für den Winkel automatisch ein Winkel < 90° heraus:
[mm] sin\alpha=\bruch{1}{\wurzel{3}}
[/mm]
=> [mm] \alpha=35,26°
[/mm]
Das passt dann.
Angenommen, n und v wären zwei Richtungsvektonren zweier Geraden ,dann würde einmal für [mm] \alpha [/mm] (mit dem Cosinus) herauskommen:
125,26° => 180°-125,26°=54,74°
Und wenn du den Betrag nimmst, als [mm] 1/\wurzel{3} [/mm] , dann kommt sofort die 54,74° heraus.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:51 So 13.05.2007 | | Autor: | fl4x |
Dann ist das, was ich in der Klausur als Antwort zum Winkel zwischen Gerade und Ebene angegeben habe (54°), also falsch, weil es nicht der Winkel zwischen Gerade und Ebene ist, sondern lediglich der Winkel zwischen dem Normalenvektor der Ebene und der Geraden?
Das verwirrt mich ziemlich, denn ich kann mir nicht vorstellen, dass mein Lehrer da irgendwelche Fehler machen würde :) Der Winkel zwischen Gerade und Ebene ist ja dann 90° - [mm] \alpha [/mm] zwischen n und v
Oder habe ich die Aufgabe nicht richtig verstanden (und durch einen Fehler dann trotzdem das richtige Ergebnis)? Die Aufgabe Lautete "Unter welchem Winkel kommt der Fallschirmspringer auf den Boden auf?" Gegeben war die Geradengleichung an welcher sich der Springer entlang bewegt! Deshalb war mein Ansatz Winkel zwischen Gerade und Ebene ausrechen (was ja dann 90° minus Winkel zwischen normalenvektor der Ebene und richtungsvektor der Geraden ist).
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:02 So 13.05.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ja, bei dem Winkel zwischen Ebene und Gerade nimmt man den Sinus, weil du mit dem Cosinus nur den Winkel zwischen dem Normalenvektor und dem Richtungsvektor berechnen würdest.
Wenn du dann noch 90° abziehst, passt die ganze Sache wieder (denn [mm] sin\alpha=cos\alpha-90°).
[/mm]
Sprich: Berechnest du den Winkel mit Hilfe des Cosinus, und ziehst von dem 90° ab, so hast du das selbe Ergebnis, als wenn du mit dem Sinus gearbeitet hättest.
Und ja, deine Aufgabe ist definitiv die Winkelbestimmung zwischen Ebene und Gerade.
Von daher passt dein Ergebnis dann wohl.
LG
Kroni
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