Winkel von 2 Einheitsvektoren < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:53 Sa 18.07.2009 | | Autor: | poperina |
| Aufgabe | Man bestimme bezüglich der Bilinearform die Länge der Einheitsvektoren [mm] e_{1}, e_{2}, e_{3} [/mm] sowie die von ihnen eingeschlossenen Winkel.
A= [mm] \pmat{ 9 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \\ 3 & -1 & 4} [/mm] |
Hallo,
schreibe am Montag Mathe- Prüfung und ich kommen bei der Winkelberechnung von den Einheitsvektoren nicht weiter.
Die Lösung der Aufgabe ist bekannt, wie man darauf kommt ist mir aber schleierhaft.
cos vom Winkel [mm] (e_{1},e_{3})= sigma(e_{1}, e_{3}) [/mm] / [mm] \parallel e_{1} \parallel [/mm] * [mm] \parallel e_{3} \parallel [/mm]
Die Lösung lautet laut Vorgabe: 3 / 3*2 = 1/2
Wie kommt man auf die 3 im Zähler?!?
Danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo poperina,
> Man bestimme bezüglich der Bilinearform die Länge der
> Einheitsvektoren [mm]e_{1}, e_{2}, e_{3}[/mm] sowie die von ihnen
> eingeschlossenen Winkel.
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> A= [mm]\pmat{ 9 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \\ 3 & -1 & 4}[/mm]
> Hallo,
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> schreibe am Montag Mathe- Prüfung und ich kommen bei der
> Winkelberechnung von den Einheitsvektoren nicht weiter.
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> Die Lösung der Aufgabe ist bekannt, wie man darauf kommt
> ist mir aber schleierhaft.
>
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> cos vom Winkel [mm](e_{1},e_{3})= sigma(e_{1}, e_{3})[/mm] /
> [mm]\parallel e_{1} \parallel[/mm] * [mm]\parallel e_{3} \parallel[/mm]
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> Die Lösung lautet laut Vorgabe: 3 / 3*2 = 1/2
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> Wie kommt man auf die 3 im Zähler?!?
Nun, hier ist das Skalarprodukt wie folgt definiert:
[mm]\sigma(u, v):=u^{T}*A*v[/mm]
Hier also
[mm]\sigma\left(e_{1}, e_{1}\right)=e_{1}^{T}*A*e_{1}=\pmat{1 & 0 & 0 }* A * \pmat{1 \\ 0 \\ 0}=\vmat{\vmat{e_{1}}}^{2}[/mm]
[mm]\sigma\left(e_{1}, e_{3}\right)=e_{1}^{T}*A*e_{3}=\pmat{1 & 0 & 0 }* A * \pmat{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
[mm]\sigma\left(e_{3}, e_{3}\right)=e_{3}^{T}*A*e_{3}=\pmat{0 & 0 & 1 }* A * \pmat{0 \\ 0 \\ 1}=\vmat{\vmat{e_{3}}}^{2}[/mm]
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> Danke!
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:27 Sa 18.07.2009 | | Autor: | poperina |
Vielen lieben Dank!
Muss man also immer, wenn Einheitsverktoren im Spiel sind, die Formel $ [mm] \sigma(u, v):=u^{T}\cdot{}A\cdot{}v [/mm] $ nutzen?
Denn sonst reicht es ja, bei einem Vektor v die Länge durch [mm] \wurzel{ $ \sigma(v)}= \wurzel{\vektor{x \\ y} * \vektor{x \\ y}} [/mm] auszurechnen... ?!
Danke!
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Hallo poperina,
> Vielen lieben Dank!
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> Muss man also immer, wenn Einheitsverktoren im Spiel sind,
> die Formel [mm]\sigma(u, v):=u^{T}\cdot{}A\cdot{}v[/mm] nutzen?
Formal ist so das Skalarprodukt von zwei Vektoren u und v definiert.
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> Denn sonst reicht es ja, bei einem Vektor v die Länge
> durch [mm]\wurzel{ $ \sigma(v)}= \wurzel{\vektor{x \\ y} * \vektor{x \\ y}}[/mm]
> auszurechnen... ?!
Ja, das ist richtig.
>
> Danke!
Gruß
MathePower
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