Winkel->Raumdiagonale->würfel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hi,
Ich sitzte gerade an einen Beweis und weiss nicht wie es weitergehen soll bzw. was ich falsch gemacht habe :-(
Gegeben ist ein Quader ABCDEFGH
Der Vektor von A nach B ist a (also waagerecht, zeigt nach rechts), der Vektor von A nach E ist c (also der senkrechte nach oben), der vektor b von A nach D (zeigt nach hinten zu D)
Ich hoffe ihr könnt euch ungefähr vorstellen wie der Quader aussieht
aufgabe a lautet: Bestimmen sie für den Fall das der quader ein würfel ist, den Winkel zwischen den Raumdiagonalen.
Da der Quader ein würfel ist, kann ich davon ausgehen das sich die raumdiagonalen in der Mitte des Würfels schneiden (habe ich auch bewiesen..) deswegen konnte ich mit meinen Überlegungen dort beginnen.
Ich habe den Schnittpunkt der Diagonalen S genannt :
Vektor SG = (1/2a ; 1/2b ; 1/2c)
vektor SB = (1/2a ; -1/2b ; -1/2c)
Da man das skalarprodukt anwenden soll/muss, habe ich dies in folgende formel eingesetzt :
cosalpha = (SG*SB) / (Länge von SG * Länge von SB)
dann habe ich da stehen nachdem ich es ausgeklammert und mit 4 multipliziert habe :
cos alpha = [mm] a^2-b^2-c^2/ [/mm] ( [mm] a^2+b^2+c^2)
[/mm]
weiter wusste ich nicht so genau , aber ich habe es trotzdem versucht.
Ich dachte mir da der Betrag von jedem Vektor gleich ist, da würfel, kann ich b und c durch a ersetzten und somit kam ich auf:
cos alpha = [mm] -a^2 [/mm] / [mm] 3a^2 [/mm] = -1/3
-> alpha = 109 Grad .
Und dieser Winkel kann ja wohl nicht sein ...
WO IST MEIN FEHLER ??? :-( Hoffe ihr könnt mir weiterhelfen
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Hallo!
> Gegeben ist ein Quader ABCDEFGH
> Der Vektor von A nach B ist a (also waagerecht, zeigt nach
> rechts), der Vektor von A nach E ist c (also der senkrechte
> nach oben), der vektor b von A nach D (zeigt nach hinten zu
> D)
>
> Ich hoffe ihr könnt euch ungefähr vorstellen wie der Quader
> aussieht
> aufgabe a lautet: Bestimmen sie für den Fall das der quader
> ein würfel ist, den Winkel zwischen den Raumdiagonalen.
>
> Da der Quader ein würfel ist, kann ich davon ausgehen das
> sich die raumdiagonalen in der Mitte des Würfels schneiden
> (habe ich auch bewiesen..) deswegen konnte ich mit meinen
> Überlegungen dort beginnen.
>
> Ich habe den Schnittpunkt der Diagonalen S genannt :
>
> Vektor SG = (1/2a ; 1/2b ; 1/2c)
> vektor SB = (1/2a ; -1/2b ; -1/2c)
>
> Da man das skalarprodukt anwenden soll/muss, habe ich dies
> in folgende formel eingesetzt :
>
> cosalpha = (SG*SB) / (Länge von SG * Länge von SB)
>
> dann habe ich da stehen nachdem ich es ausgeklammert und
> mit 4 multipliziert habe :
>
> cos alpha = [mm]a^2-b^2-c^2/[/mm] ( [mm]a^2+b^2+c^2)[/mm]
>
> weiter wusste ich nicht so genau , aber ich habe es
> trotzdem versucht.
> Ich dachte mir da der Betrag von jedem Vektor gleich ist,
> da würfel, kann ich b und c durch a ersetzten und somit kam
> ich auf:
>
> cos alpha = [mm]-a^2[/mm] / [mm]3a^2[/mm] = -1/3
> -> alpha = 109 Grad .
>
> Und dieser Winkel kann ja wohl nicht sein ...
>
> WO IST MEIN FEHLER ??? :-( Hoffe ihr könnt mir weiterhelfen
Also, ich dachte zuerst, da wäre ein Fehler, aber das war ja doch richtig. Ich habe jetzt nirgendwo einen Fehler gefunden und es scheint alles richtig zu sein. Warum meinst du denn, dass solch ein Winkel nicht sein könnte? Hast du mit einem Winkel von 90° gerechnet? Ich glaube, bei solchen Sachen versagt manchmal die Anschauung. Du musst hier bedenken, dass sich das Ganze ja im Raum abspielt, also der Winkel nicht so ist, wie der zwischen den Diagonalen eines (zweidimensionalen) Quadrates. Du kannst es ja mal bei einem Quadrat berechnen, genau so, wie du es bei dem Würfel gemacht hast, nur geht es beim Quadrat dann schneller. Und wenn du da nicht 90° rausbekommst, dann war wohl doch etwas falsch. Aber ansonsten müsste deine Rechnung stimmen. 
Vielleicht hast du ja Streichhölzer oder Zahnstocher (mit Strohhalmen geht es wohl auch) und kannst dir mal einen Würfel zusammenbasteln. Vielleicht siehst du dann, dass der Winkel nicht 90 ° ist oder vielleicht kommst du sogar mit dem Geodreieck dran und kannst nachmessen.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:51 Mi 31.08.2005 | | Autor: | statler |
Hallo,
vielleicht sollte man auch bedenken, daß es 2 Winkel zwischen 2 sich schneidenden Geraden gibt.....
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:08 Mi 31.08.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Dieter!
> vielleicht sollte man auch bedenken, daß es 2 Winkel
> zwischen 2 sich schneidenden Geraden gibt.....
Aber bei einem Würfel sind doch die beiden Winkel zwischen den Raumdiagonalen gleich groß, oder doch nicht? Vielleicht sollte ich mir auch mal ein Modell aus Zahnstochern basteln...
Viele Grüße aus Bonn
Bastiane
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:28 Mi 31.08.2005 | | Autor: | statler |
Hallo Christiane,
es muß ja nicht aus Zahnstochern sein....
Um ganz genau zu sein: Zwischen 2 sich schneidenden Geraden entstehen 4 Winkel, von denen je 2 gleich groß sind. Aber im vorliegenden Fall sind nicht alle 4 gleich groß. Ich erinnere dich ganz lieb an meine Literaturhinweise von neulich zur Unterstützung deines räumlichen Vorstellungsvermögens.
Gruß aus dem supersonnigen HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:11 Mi 31.08.2005 | | Autor: | DeusDeorum |
wow :) dieses ergebnis hatte ich ohne probleme rausgefunden und dachte die ganze zeit es könnte nicht sein :) . Oh gott dann hatte ich da stundenlang vorgesessen und irgendeinen blödsinn gerechnet ... konnte mir es einfach nicht so recht vorstellen.
Danke für die Anwort, jetzt muss ich nicht mehr denken ich sei strohdoof :)
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jetzt hänge ich hier an der Aufgabe B fest...... :-(
Man soll untersuchen, unter welcher Bedingung die vektoren a, b und c die Diagonalen AG und BH zueinander orthogonal sind
mein Anfang:
BH = (-a ; b ; c)
AG = (a ; b ; c)
(-a + b + c) * (a + b + c) = 0
=> [mm] -a^2+b^2+2bc+c^2
[/mm]
Ok und jetzt das was ich nicht verstehe :
a *c = 0
a *b = 0
b*c=0
Diese drei Terme ergeben sich aus den rechten Winkeln im Quader
dann müsste man doch eigentlich schreiben können :
a*c = b* c -> a=b ??? aber das geht doch gar nicht .......wo ist mein Denkfehler?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:39 Mi 31.08.2005 | | Autor: | statler |
Hallo, <hier den Vokativ von deus einsetzen>,
> jetzt hänge ich hier an der Aufgabe B fest...... :-(
>
> Man soll untersuchen, unter welcher Bedingung die vektoren
> a, b und c die Diagonalen AG und BH zueinander orthogonal
> sind
>
> mein Anfang:
>
> BH = (-a ; b ; c)
> AG = (a ; b ; c)
>
>
> (-a + b + c) * (a + b + c) = 0
>
> => [mm]-a^2+b^2+2bc+c^2[/mm]
>
Wie war das mit dem Skalarprodukt? Wo kommt 2bc her?
>
>
> Ok und jetzt das was ich nicht verstehe :
>
> a *c = 0
> a *b = 0
> b*c=0
>
Das kann man auch nicht verstehen, weil es so (Entschuldigung) Murks ist. Du verwechselst die Seitenlänge a (Das ist eine Zahl!) mit dem Vektor (a, 0, 0) usw.
> Diese drei Terme ergeben sich aus den rechten Winkeln im
> Quader
>
> dann müsste man doch eigentlich schreiben können :
>
> a*c = b* c -> a=b ??? aber das geht doch gar nicht
> .......wo ist mein Denkfehler? (s. o.)
Bei richtiger Durchführung der Rechnung ergibt sich ein Zusammenhang zwischen a, b und c, der eine einfache geom. Entsprechung hat und den man sich bildlich gut vorstellen kann, finde ich.
Jetzt noch einmal bitte, wie der Pauker sagt.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:18 Mi 31.08.2005 | | Autor: | DeusDeorum |
wow bin ich blöd, ich hatte da ja alles vertauscht. war wohl einfach zu müde, jetzt ist es klar, dankeschön :)
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Ach man... ist doch noch nicht so ganz klar.
ok durch das skalarprodukt kommt
[mm] -a^2+b^2+c^2 [/mm] = 0
aber nun weiss ich gar nicht wie ich weitere beziehungen zwischen a b und c herstellen soll :-(
wenn ich schreibe Vektor a : (0 ; a ; b)
Vektor b : (b ; 0 ; 0 )
Vektor c : (0 ; 0 ; c)
und dann daraus skalaprodukte bilde, dann bringt mich das ja auch nicht weiter :-(
Habe ich etwas vergessen? Kann man vieleicht noch andere Dinge als gegeben vorraussehen die ich gar nicht beachtet habe ?
Diese Aufgabe macht mich fertig :-(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:03 Mi 31.08.2005 | | Autor: | statler |
> Ach man... ist doch noch nicht so ganz klar.
>
> ok durch das skalarprodukt kommt
>
> [mm]-a^2+b^2+c^2[/mm] = 0
Klasse!
>
> aber nun weiss ich gar nicht wie ich weitere beziehungen
> zwischen a b und c herstellen soll :-(
>
Weitere gibt es nicht!
> wenn ich schreibe Vektor a : (0 ; a ; b)
> Vektor b : (b ; 0 ; 0 )
> Vektor c : (0 ; 0 ; c)
>
> und dann daraus skalaprodukte bilde, dann bringt mich das
> ja auch nicht weiter :-(
>
Was bedeutet denn der obige Zusammenhang? Denk mal an den alten Herrn Pythagoras, und mal dir mal diesen vermaledeiten Quader in Schrägansicht, und überleg dir mal, wie die Schnittfigur mit der Ebene, in der die Raumdiagonalen liegen, aussieht. In der Schnittfigur sind die Raumdiagonalen nämlich Flächendiagonalen....
>
>
> Habe ich etwas vergessen?
Nee, hast du nicht, du kannst dir das Ding nur nicht richtig vorstellen.
Kann man vieleicht noch andere
> Dinge als gegeben vorraussehen die ich gar nicht beachtet
> habe ?
> Diese Aufgabe macht mich fertig :-(
Ach wo, nichts und niemand macht uns fertig!
Gruß und Feierabend
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:42 Mi 31.08.2005 | | Autor: | DeusDeorum |
Und ich rechne und rechne, obwohl das Ergebnis schon längst feststeht... :)
Will mir eben immer alles schwieriger machen als es eigentlich ist :)
Vielen Dank für die ausführliche Hilfe, dieses Forum ist wirklich super
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hmm was ich mich noch frage, wäre ob es überhaupt zueinander orthogonale Raumdiagonalen gibt ...
aus [mm] -a^2+b^2+c^2 [/mm] = 0 kann man dies ja nicht erkennen .. hmm
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:29 Do 01.09.2005 | | Autor: | DeusDeorum |
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![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]"){kind=small}
