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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:40 Do 13.05.2010 | | Autor: | Pidgin |
| Aufgabe | Für a, b [mm] \in \mathds{R} \setminus [/mm] {0}. Berechne
[mm] \int\limits_{-\pi}^{\pi} \frac{dt}{a^2\cos^2(t)+b^2\sin^2(t)}
[/mm]
(Hinweis: Windungszahl) |
Ich habe leider keine Ahnung was mir der Tipp mit der Windungszahl bringen soll. Ich habe aber bereits berechnet, dass [mm] \frac{arctan(\frac{b tan(t)}{a})}{ab} [/mm] die Stammfunktion ist. Ich denke aber dass es bei [mm] \pi/2 [/mm] Probleme geben würde, da der tan(t) dort seine Singularität besitzt. Wie kann ich noch vorgehen?
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Der Tip mit der Windungszahl ist goldrichtig. Die Ellipse
[mm]\gamma: \ z = |a| \cos t + \operatorname{i} |b| \sin t \, , \ \ |t| \leq \pi[/mm]
windet sich einmal in positiver Orientierung um den Nullpunkt herum. Daher gilt:
[mm]\int_{\gamma} \frac{\mathrm{d}z}{z} = 2 \pi \operatorname{i}[/mm]
Jetzt mußt du links nur parametrisieren und zum Imaginärteil übergehen.
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