Wiener Prozesse < stoch. Prozesse < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:40 Do 12.11.2009 | | Autor: | mEwE |
| Aufgabe | | Der Wiener Prozess sieht ja so aus: [mm] $dW\sim X\sqrt{dt}$ [/mm] wobei $X$ standardnormalverteilt ist |
Hallo,
was genau bedeutet jetzt [mm] $\sqrt{dt}$ [/mm] und wodurch ist das begründet?
... mir fehlt da leider total die Vorstellung?
(vllt kann das ja mal jemand ausführlich und anschaulich erklären ??)
..Und wie kommt man auf den verallgemeinerten Wiener Prozess?
der ja so aus sieht: $dy(t) = [mm] \alpha\cdot [/mm] dt + [mm] \sigma\cdot [/mm] dw$ (das ist aber doch eine stochastische Differentialgleichung)
was ist $dw$? ... ist das der Prozess?
-> Ich sehe da keinen Zusammenhang???
-> kann mir mal jemand mal die Begriffe stochastische Differentialgleichung und stochastischer Prozess sauber trennen, bzw mir den Unterschied erklären?
Was ist der Zusammenhang zwischen dem Wiener Prozess und der Braunschen Bewegung?
Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:25 Fr 20.11.2009 | | Autor: | Uetrig |
> Der Wiener Prozess sieht ja so aus: [mm]dW\sim X\sqrt{dt}[/mm]
> wobei [mm]X[/mm] standardnormalverteilt ist
> Hallo,
>
> was genau bedeutet jetzt [mm]\sqrt{dt}[/mm] und wodurch ist das
> begründet?
X(t) ist eine normalverteilte Zufallsvariable mit
Mittelwert 0 und Standardverteilung 1. Damit wird
bei diesem Prozess W(t) normalverteilte Zufallsvariable
mit Mittelwert 0 und Standardverteilung [mm] \math{\wurzel{t}}.
[/mm]
Die Standardverteilung wächst also mit der Zeit (Bild
unten).
> ... mir fehlt da leider total die Vorstellung?
> (vllt kann das ja mal jemand ausführlich und anschaulich
> erklären ??)
>
> ..Und wie kommt man auf den verallgemeinerten Wiener
> Prozess?
> der ja so aus sieht: [mm]dy(t) = \alpha\cdot dt + \sigma\cdot dw[/mm]
> (das ist aber doch eine stochastische
> Differentialgleichung)
Ein Wiener Prozess wird durch eine stochastische Diff'gl.
beschrieben. Der erste Teil dieser Gleichung [mm] (\math{\alpha\cdot dt}) [/mm] ist
der deterministische Teil der Gleichung (wie bei ganz
normalen Diff'gl.).
Der zweite Teil [mm] (\math{\sigma\cdot dW}) [/mm] macht die Diff'gl. zu einer
stochastischen Diff'gl. weil die Zufallsvariable W ins
Spiel kommt. Dieser Teil ist für das zufällige Verhalten
des Prozesses verantwortlich.
Zur veranschaulichung hier noch ein Bild einer Simulation:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Der Mittelwert bleibt mit der Zeit konstant [mm] (\alpha [/mm] = 0)
und die Standardabweichung (rot) nimmt mit der Zeit zu.
> was ist [mm]dw[/mm]? ... ist das der Prozess?
> -> Ich sehe da keinen Zusammenhang???
> -> kann mir mal jemand mal die Begriffe stochastische
> Differentialgleichung und stochastischer Prozess sauber
> trennen, bzw mir den Unterschied erklären?
Eine stochastische Diff'gl. ist das Zeug, dass auf deinem
Blatt steht. Es ist die mathematische Beschreibung eines
stochastischen Prozesses (z.B. Aktienindex).
> Was ist der Zusammenhang zwischen dem Wiener Prozess und
> der Braunschen Bewegung?
Ein Wiener Prozess ist ein Prozess der in der Mathematik
mit Hilfe einer Braunschen Bewegung W beschrieben wird.
Das heisst, alle stochastischen Diff'gl. in denen ein dW
steht beschreiben Wiener Prozesse.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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