Wieder Lsg einer Gleichung < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:59 Do 08.05.2008 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | Bestimmen sie alle Lösungen für folgende Gleichung:
[mm] \sqrt{4x+2}-\sqrt{2x+1}=x [/mm] |
[mm] \sqrt{4x+2}-\sqrt{2x+1}=x
[/mm]
Habe erstmal die ein WUrzel auf die andere Seite geholt.
[mm] \sqrt{4x+2}=x+\sqrt{2x+1}
[/mm]
dann quadriert
[mm] 4x+2=x^2+2*\sqrt{2x+1}+2x+1
[/mm]
[mm] -x^2+2x+1=2x*\sqrt{2x+1}
[/mm]
wieder quadriert:
[mm] x^4-4x^3+2x^2+4x+1=8x^3+4x^2
[/mm]
[mm] x^4-12x^3-2x^2+4x+1=0
[/mm]
Jetzt würde ich Nullstellen raten, da aber das ABsolutglies 1 ist gibt es schonmal keine ganzzahlige NST.
habs mit 1/2, -1/2 probiert aber komme nicht weiter.
Habe ich vielleicht irgendwas übersehen oder falsch gerechnet?
Danke fürs drüberschauen und besten Gruß.
tedd ;)
|
|
| |
|
Hallo tedd,
> Bestimmen sie alle Lösungen für folgende Gleichung:
> [mm]\sqrt{4x+2}-t\sqrt{2x+1}=x[/mm]
> [mm]\sqrt{4x+2}-\sqrt{2x+1}=x[/mm]
Da hast Du wohl ein t vergessen.
> Habe erstmal die ein WUrzel auf die andere Seite geholt.
> [mm]\sqrt{4x+2}=x+\sqrt{2x+1}[/mm]
> dann quadriert
> [mm]4x+2=x^2+2*\sqrt{2x+1}+2x+1[/mm]
> [mm]-x^2+2x+1=2x*\sqrt{2x+1}[/mm]
> wieder quadriert:
> [mm]x^4-4x^3+2x^2+4x+1=8x^3+4x^2[/mm]
> [mm]x^4-12x^3-2x^2+4x+1=0[/mm]
>
> Jetzt würde ich Nullstellen raten, da aber das ABsolutglies
> 1 ist gibt es schonmal keine ganzzahlige NST.
> habs mit 1/2, -1/2 probiert aber komme nicht weiter.
> Habe ich vielleicht irgendwas übersehen oder falsch
> gerechnet?
Beachte daß [mm]\wurzel{4x+2}=\wurzel{2*\left(2x+1\right)}=\wurzel{2}*\wurzel{2x+1}[/mm]
> Danke fürs drüberschauen und besten Gruß.
> tedd ;)
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:23 Do 08.05.2008 | | Autor: | tedd |
Hi MathePower!
Sorry, dass t ist mir dazwischen gerutscht, sollte also nicht dahin gehören. :-/
|
|
|
| |
|
Hallo tedd,
> Hi MathePower!
> Sorry, dass t ist mir dazwischen gerutscht, sollte also
> nicht dahin gehören. :-/
Ok.
Dann kannst die Gleihung lösen, indem Du die linke Seite erst zusammenfasst und quadrierst.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:51 Do 08.05.2008 | | Autor: | tedd |
Okay.
Das kommt mir irgendwie nicht richtig vor aber mach ich das dann so?
[mm] \sqrt{4x+2}-\sqrt{2x+1}=x
[/mm]
[mm] \sqrt{2*(2x+1)}-\sqrt{1*(2x+1)}=x
[/mm]
[mm] \sqrt{2}*\sqrt{2x+1}-\sqrt{1}*\sqrt{2x+1}=x
[/mm]
[mm] \sqrt{1}*\sqrt{2x+1}=x
[/mm]
[mm] 1*\sqrt{2x+1}=x
[/mm]
[mm] \sqrt{2x+1}=x
[/mm]
?
|
|
|
| |
|
> [mm]\sqrt{4x+2}-\sqrt{2x+1}=x[/mm]
> [mm]\sqrt{2*(2x+1)}-\sqrt{1*(2x+1)}=x[/mm]
Das ist der richtige Ansatz.
> [mm]\sqrt{2}*\sqrt{2x+1}-\sqrt{1}*\sqrt{2x+1}=x[/mm]
Weiterhin richtig.
> [mm]\sqrt{1}*\sqrt{2x+1}=x[/mm]
STOP! 
Das ist falsch. Analytisch gesehen klammerst du einfach auf der linken Seite der Gleichung [mm] \sqrt{2x+1} [/mm] aus. Du erhältst
[mm]\sqrt{2}*\sqrt{2x+1}-\sqrt{1}*\sqrt{2x+1}=x[/mm]
[mm]\gdw \sqrt{2x+1}*\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}\right)=x[/mm]
Du dachtest wahrscheinlich dass [mm]\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}\right) = \sqrt{1} = 1[/mm]. Das ist NICHT der Fall. Es gilt im Allgemeinen:
[mm]\sqrt{a}\pm\sqrt{b} \not= \sqrt{a\pm b}[/mm].
Aber gut. Du hast nun obige Gleichung als letzten Schritt und solltest nun quadrieren:
[mm]\gdw \sqrt{2x+1}*\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}\right)=x[/mm]
[mm]\Rightarrow \left(\sqrt{2x+1}*\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}\right)\right)^{2}=x^{2}[/mm]
Folgende Rechenregel gilt:
[mm]\left(a*b\right)^{n} = a^{n}*b^{n}[/mm]
D.h. du kannst nun umformen:
[mm]\gdw \left(\sqrt{2x+1}*\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}\right)\right)^{2}=x^{2}[/mm]
[mm]\gdw \left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}*\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}\right)^{2}=x^{2}[/mm]
[mm]\gdw (2x+1)*\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}\right)^{2}=x^{2}[/mm]
Nun alles auf eine Seite bringen und quadratische Lösungsformel anwenden
Nicht wundern - die Ergebnisse sind nicht besonders hübsch.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:06 Fr 09.05.2008 | | Autor: | tedd |
Hi !
Vielen dank für die Antworten....
nur irgendwie hängts bei mir:
Bevor ich die P/q-Formel anwende muss ich doch die Wuzerln "wegkriegen" oder nicht?
|
|
|
| |
|
Hallo tedd,
nee, musste nicht, das werden dann halt "krumme" Faktoren für das p und q in der p/q-Formel.
Multipliziere in der letzen Zeile in Stefans post aus und schaffe alles auf eine Seite, also:
[mm] $(2x+1)\cdot{}(\sqrt{2}-1)^2=x^2$
[/mm]
[mm] $\gdw 2(\sqrt{2}-1)^2\cdot{}x+(\sqrt{2}-1)^2=x^2$
[/mm]
[mm] $\gdw x^2\red{-2(\sqrt{2}-1)^2}\cdot{}x\blue{-(\sqrt{2}-1)^2}=0$
[/mm]
Also hast du für die p/q-Formel [mm] $\red{p=-2(\sqrt{2}-1)^2}$ [/mm] und [mm] $\blue{q=-(\sqrt{2}-1)^2}$
[/mm]
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:48 Fr 09.05.2008 | | Autor: | tedd |
Oh man... ob ich das nochmal hinkrieg mit dem Mathe-Kram...
Also hab ich dann
[mm] x_1_/_2=(\sqrt{2}-\sqrt{1})^2\pm\sqrt{(\sqrt{2}-\sqrt{1})^4+(\sqrt{2}-\sqrt{1})}
[/mm]
sieht einleuchtend aus.
Danke für eure Hilfe ihr alle, :)
besten Gruß,
tedd
|
|
|
| |
|
Hi tedd,
> Oh man... ob ich das nochmal hinkrieg mit dem
> Mathe-Kram...
>
> Also hab ich dann
>
> [mm]x_1_/_2=(\sqrt{2}-\sqrt{1})^2\pm\sqrt{(\sqrt{2}-\sqrt{1})^4+(\sqrt{2}-\sqrt{1})\red{^2}}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Du hast beim Auf- bzw. Abschreiben ein Quadrat unterschlagen 
>
> sieht einleuchtend aus.
>
> Danke für eure Hilfe ihr alle, :)
> besten Gruß,
> tedd
Dito
schachuzipus
|
|
|
|
