Wie viel Wege gibt es? < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:02 Do 10.01.2013 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | Im untenstehenden Raster darf man nur nach rechts oder oben gehen.
a) Wieviel Wege gibt es von A nach B?
b) Wieviel Wege gibt es von A nach B über C?
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Raster |
Hi Leute!
Ich hab hier gleich mal Probleme mit der Aufgabe a). Natürlich hab ich mich um eine Lösung bemüht:
[mm] $\mathbb [/mm] M = [mm] \frac{2^{5 \cdot 6}}{\frac{(5 \cdot 6)!}{1!2!3!4!5!6!}} [/mm] = 1,0073 [mm] \cdot 10^{-16}$
[/mm]
Das Ergebnis ist unplausibel. Da müssten wohl ganze Zahlen raus kommen.
Was habe ich mir dabei gedacht? Nun ja ich hab ein Raster der Größe 5 mal 6 also 30. Ich hab zwei Möglichkeiten entweder nach rechts oder nach oben gehen, also 2. Da ich hier alle Möglichkeiten auch mit Doppelbelegungen brauche, hab ich mir gedacht, dass ich mit einer Variation und dem Multinomialkoeffizienten weiter komme, was aber nicht ganz stimmt.
Vielleicht kann mir jemand weiterhelfen! Das wär super  Danke!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo bandchef,
das ist viel zu kompliziert gedacht.
> Im untenstehenden Raster darf man nur nach rechts oder oben
> gehen.
>
> a) Wieviel Wege gibt es von A nach B?
> b) Wieviel Wege gibt es von A nach C?
>
> Raster
Du kannst die Grafik doch auch direkt hier einbinden, dann muss man nicht immer noch einen Link verfolgen, sondern hat sie direkt vor sich:
[Dateianhang nicht öffentlich]
> Hi Leute!
>
> Ich hab hier gleich mal Probleme mit der Aufgabe a).
> Natürlich hab ich mich um eine Lösung bemüht:
>
> [mm]\mathbb M = \frac{2^{5 \cdot 6}}{\frac{(5 \cdot 6)!}{1!2!3!4!5!6!}} = 1,0073 \cdot 10^{-16}[/mm]
>
> Das Ergebnis ist unplausibel. Da müssten wohl ganze Zahlen
> raus kommen.
>
> Was habe ich mir dabei gedacht? Nun ja ich hab ein Raster
> der Größe 5 mal 6 also 30. Ich hab zwei Möglichkeiten
> entweder nach rechts oder nach oben gehen, also 2. Da ich
> hier alle Möglichkeiten auch mit Doppelbelegungen brauche,
> hab ich mir gedacht, dass ich mit einer Variation und dem
> Multinomialkoeffizienten weiter komme, was aber nicht ganz
> stimmt.
Ich fange mal lieber mit Aufgabe b) an, das ist übersichtlicher.
Du kannst ja manuell ausprobieren, dass es 6 Wege von A nach C (editiert) gibt.
Es ist eine einfache Überlegung, dass jeder dieser Wege aus 4 Schritten besteht, nämlich zwei nach rechts und zwei nach oben. Die können beliebig angeordnet werden. Es reicht dabei, die "Positionen" z.B. der Rechtsschritte zu kennen. Dafür gibt es [mm] \vektor{2+2\\2}=6 [/mm] Möglichkeiten.
Entsprechend Aufgabe a), da muss man vier Schritte nach oben und 5 nach rechts gehen. Also gibt es [mm] \vektor{4+5\\5}=\vektor{4+5\\4}=126 [/mm] Möglichkeiten.
> Vielleicht kann mir jemand weiterhelfen! Das wär super
> Danke!
Gern geschehen.
Grüße
reverend
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:40 Do 10.01.2013 | | Autor: | bandchef |
> Du kannst ja manuell ausprobieren, dass es 6 Wege von A nach B gibt.
Ok. Da hast du Recht, das geht wirklich fast von alleine.
> Es ist eine einfache Überlegung, dass jeder dieser Wege aus 4 Schritten besteht, nämlich zwei nach rechts und zwei nach oben.
Ok, das ist auch klar.
> Die können beliebig angeordnet werden.
Ok, ebenfalls klar. Muss ja auch so sein
> Es reicht dabei, die "Positionen" z.B. der Rechtsschritte zu kennen. Dafür gibt es [mm] \vektor{2+2\\2}=6 [/mm] Möglichkeiten.
Hier verstehe ich nicht was du mit Positionen meinst und wie die auf die Modellierung [mm] \vektor{2+2\\2}=6 [/mm] kommst... Da würde ich mich freun, wenn du näher drauf eingehen könntest!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:10 Do 10.01.2013 | | Autor: | leduart |
hallo
Warum zeichnest du nicht die moeglichen Rechtsschritte ein, dann siehst du, wie man drauf kommt.
gruss leduart
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> > Im untenstehenden Raster darf man nur nach rechts oder oben
> > gehen.
> >
> > a) Wieviel Wege gibt es von A nach B?
> > b) Wieviel Wege gibt es von A nach C?
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Ich fange mal lieber mit Aufgabe b) an, das ist
> übersichtlicher.
> Du kannst ja manuell ausprobieren, dass es 6 Wege von A
> nach B gibt. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Nur 6 Wege ?
Da musst du die Aufgabenstellung aber ganz anders als
ich verstehen.
Ich komme auf 126 mögliche Wege. Ein "Weg" ist doch
(so wie es in ähnlichen Aufgaben jeweils gemeint ist)
ein Streckenzug aus 9 Einheitsstrecken, von welchen
genau 5 nach rechts und genau 4 nach oben gehen.
LG, Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:05 Do 10.01.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo Al,
auf 126 komme ich auch, wie Du nachlesen kannst.
> > > Im untenstehenden Raster darf man nur nach rechts oder oben
> > > gehen.
> > >
> > > a) Wieviel Wege gibt es von A nach B?
> > > b) Wieviel Wege gibt es von A nach C?
> >
> > [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> > Ich fange mal lieber mit Aufgabe b) an, das ist
> > übersichtlicher.
> > Du kannst ja manuell ausprobieren, dass es 6 Wege von A
> > nach B gibt.
Aufgabe b) fragte nach den Wegen von A nach C. Das sind nur 6.
> Nur 6 Wege ?
>
> Da musst du die Aufgabenstellung aber ganz anders als
> ich verstehen.
> Ich komme auf 126 mögliche Wege. Ein "Weg" ist doch
> (so wie es in ähnlichen Aufgaben jeweils gemeint ist)
> ein Streckenzug aus 9 Einheitsstrecken, von welchen
> genau 5 nach rechts und genau 4 nach oben gehen.
>
> LG, Al-Chw.
Ich editiere das mal in meinem ursprünglichen Beitrag, sonst aber nicht.
Grüße
reverend
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Ah, sorry.
Das hätte ich auch merken sollen ...
LG
Al
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:25 Do 10.01.2013 | | Autor: | bandchef |
Ähm, sorry Leute, aber jetzt kapier ich gar nix mehr. In meiner Aufgabenstellung heißt es "Von A nach B über C".
Ich hab jetzt mal wirklich sogar mit unterschiedlichen Farben alle unterschiedlichen Wege eingezeichnet, verstehe aber dennoch nicht, wie man [mm] \binom{2+2}{2} [/mm] kommen soll...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:32 Do 10.01.2013 | | Autor: | abakus |
> Ähm, sorry Leute, aber jetzt kapier ich gar nix mehr. In
> meiner Aufgabenstellung heißt es "Von A nach B über C".
Schön, dass wir das auch mal erfahren...
Von A nach C gibt es 6 Wege.
Ermittle nun, wie viele Wege es von C nach B gibt.
Multipliziere diese beiden Anzahlen, und wir sind fertig.
Gruß Abakus
>
> Ich hab jetzt mal wirklich sogar mit unterschiedlichen
> Farben alle unterschiedlichen Wege eingezeichnet, verstehe
> aber dennoch nicht, wie man [mm]\binom{2+2}{2}[/mm] kommen soll...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:51 Do 10.01.2013 | | Autor: | bandchef |
> Schön, dass wir das auch mal erfahren...
> Von A nach C gibt es 6 Wege.
> Ermittle nun, wie viele Wege es von C nach B gibt.
> Multipliziere diese beiden Anzahlen, und wir sind fertzig.
> Gruß Abakus
Ich habe den Fehler in meiner Angabe ausgebessert. Entschuldigt das bitte. Ich bin momentan etwas arg aus der Spur :-( Sorry!
Ich beginne also (nochmal) mit Aufgabe b)
Also, dass ich von A nach C 6 unterschiedliche Wege bekomme ist klar. Ich glaube ich habe nun auch verstanden wieso. Man braucht für JEDEN Weg 4 Teilschritte. Diese 4 Teilschritte werden aus einer Menge von 2 verschiedenen Richtungsoperationen (rechts, nach oben) wählen kann. Man wählt quasi 2 Richtungsoperationen aus 4 Teilschritten aus. Folgt nun: [mm] \binom{4}{2}.
[/mm]
Nun noch von C nach B. Hier gelten wieder die zwei Richtungsoperationen. Nun brauch ich aber immer 5 Teilschritt um von C nach B zu kommen. Folgt hier nun: [mm] \binom{5}{2}.
[/mm]
Insgesamt dann: [mm] \binom{4}{2} \cdot \binom52 [/mm] = 60 unterschiedliche Wege.
Wie würde man erkennen, das man die zwei Teilergebnis miteinander multiplizieren muss?
Nun habe ich ja noch Aufgabe a) in der nach allen unterschiedlichen Wegen von A nach B (ohne Umweg über C) gefragt ist.
Gleiches vorgehen wie grade: 2 Richtungsoperationen und immer 9 Teilschritte um von A nach B zu kommen. Also folgt hier als Endergebnis: [mm] \binom92 [/mm] = 36 Wege.
Könnte man die zwei Teilaufgaben so erklären?
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Hallo nochmal,
> > Schön, dass wir das auch mal erfahren...
> > Von A nach C gibt es 6 Wege.
> > Ermittle nun, wie viele Wege es von C nach B gibt.
> > Multipliziere diese beiden Anzahlen, und wir sind fertzig.
> > Gruß Abakus
>
> Ich habe den Fehler in meiner Angabe ausgebessert.
> Entschuldigt das bitte. Ich bin momentan etwas arg aus der
> Spur :-( Sorry!
>
>
> Ich beginne also (nochmal) mit Aufgabe b)
>
> Also, dass ich von A nach C 6 unterschiedliche Wege bekomme
> ist klar. Ich glaube ich habe nun auch verstanden wieso.
> Man braucht für JEDEN Weg 4 Teilschritte. Diese 4
> Teilschritte werden aus einer Menge von 2 verschiedenen
> Richtungsoperationen (rechts, nach oben) wählen kann. Man
> wählt quasi 2 Richtungsoperationen aus 4 Teilschritten
> aus. Folgt nun: [mm]\binom{4}{2}.[/mm]
Nein, das ist die falsche Begründung. Es geht nicht um zwei Richtungsoperationen, sondern darum, dass in den insgesamt 4 Teilschritten gerade 2 Rechtsschritte enthalten sind (bei Betrachtung der Schritte nach oben ergibt sich natürlich das gleiche Ergebnis).
> Nun noch von C nach B. Hier gelten wieder die zwei
> Richtungsoperationen. Nun brauch ich aber immer 5
> Teilschritt um von C nach B zu kommen. Folgt hier nun:
> [mm]\binom{5}{2}.[/mm]
Das ist zwar das richtige Ergebnis, aber wie oben der falsche Grund.
> Insgesamt dann: [mm]\binom{4}{2} \cdot \binom52[/mm] = 60
> unterschiedliche Wege.
Das ist korrekt.
> Wie würde man erkennen, das man die zwei Teilergebnis
> miteinander multiplizieren muss?
Weil man den Weg in zwei Teile zerlegen kann, die voneinander vollkommen unabhängig sind. Wenn man in C steht, dann hat man noch 10 mögliche Wege nach B vor sich, egal wie man dahingekommen ist. Dafür gab es 6 Möglichkeiten. Da kann man sich die Multiplikation logisch erschließen.
> Nun habe ich ja noch Aufgabe a) in der nach allen
> unterschiedlichen Wegen von A nach B (ohne Umweg über C)
> gefragt ist.
>
> Gleiches vorgehen wie grade: 2 Richtungsoperationen und
> immer 9 Teilschritte um von A nach B zu kommen. Also folgt
> hier als Endergebnis: [mm]\binom92[/mm] = 36 Wege.
Nichts da. Das wären ja weniger als die Wege über C. Das richtige Ergebnis 126 steht inzwischen auch schon dreimal in diesem Thread, samt der richtigen Begründung: unter den insgesamt 9 Schritten müssen 4 nach oben und 5 nach rechts gehen. Die Lösung ist daher [mm] \vektor{9\\4}=\vektor{9\\5}=126
[/mm]
> Könnte man die zwei Teilaufgaben so erklären?
Nein.
Liest Du die Antworten, die Du hier bekommst, auch gründlich?
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:24 Do 10.01.2013 | | Autor: | bandchef |
Danke! Das hab ich jetzt alles gründlich nachvollziehen können. Für a) gibt 126 Möglichkeiten und bei b) gibt es 60 Möglichkeiten.
Danke!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:37 Do 10.01.2013 | | Autor: | leduart |
hallo
auf der unteren Linie 1 oder 2 Schritte, als 2 moegl. dasselbe auf der oberen.
(die schritte nach oben kommen dazu, aber die sinddann zwangsweise.)
Gruss leduart
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Aha. Das ist etwas anderes.
Du solltest 60 Möglichkeiten herausbekommen für A nach B über C.
Grüße
reverend
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![[a]](uploads/forum/00941598/forum-i00941598-n001.JPG "Dateianhänge"){kind=small}
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