Wie sich A^-1 ändert, wenn... < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Wie ändert sich [mm] A^{-1}, [/mm] wenn
a.) die i-te und j-te Zeile von A vertauscht werden,
b.) die i-te Zeile von A mit einem nichtverschwindenden Skalar c multiplilziert wird,
c.) das c-fache der i-ten Zeile von A zur j-ten Zeile addiert wird? |
Hey,
also das Ganze geht ja mit Hilfe der Formel: [mm] A^{-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{detA}*adj [/mm] A.
Zu a.)
Sei A die Ausgangsmatrix und A' die Matrix bei der die i-te und j-te Zeile vertauscht ist. Da zwei Zeilen vertauscht werden gilt ja: det(A) = -det(A').
Bilde ich jetzt die adj(A'), dann ändert sich in allen Spalten (außer der i-ten und j-ten Spalte) nichts, bis auf das Vorzeichen, denn in der zu berechnenden Untermatrix sind ja auch jeweils i-te und j-te Zeile vertauscht, gegenüber der Streichmatrix von A.
Betrachte ich jetzt die i-te Spalte von adj(A'), dann muss ich ja in A' die i-te Spalte und r-te Zeile streichen. Die Matrix die übrig bleibt ist genau die Matrix, als wenn ich von A die j-te Spalte und r-te Zeile streiche.
Analog mit der j-ten Spalte.
Alle Vorzeichen ändern sich in der Matrix, aber das Vorzeichen der Determinante ändert sich ja auch, sodass sich die beiden negativen Vorzeichen wieder wegkkürzen.
Also komm ich im Endeffekt auf das Ergebnis, dass sich bei [mm] A^{-1} [/mm] die i-te und j-te Spalte ändert.
Aber meine Erklärungen sind teilweise sehr ungenau und umgangssprachlich wie ich finde. Kann man das nicht irgendwie genauer mathematisch präzisieren?
Danke für Eure Hilfe. Gruß Patrick
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:20 Do 17.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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