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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:56 Fr 03.08.2007 | | Autor: | clover84 |
| Aufgabe | Wie oft muss man im Durchschnitt mit einem idealen Würfel würfeln, bis erstmals die Sechs erscheint?
Berechnen Sie hierzu die Wahrscheinlichkeit p dafür, dass die Sechs beim n-ten Wurf erstmals erscheint, und bestimmen Sie anschließend den Erwartungswert dieser zufälligen
Anzahl n. Welche Standardabweichung hat n? |
Hallo Zusammen,
mein Ansatz dazu lautet:
n ist gesucht
p = [mm] \bruch{1}{6}
[/mm]
Mehr weiß ich leider dazu nicht.
Ist vielleicht auch noch folgender Schritt richtig:
P(X [mm] \ge [/mm] 1) [mm] \ge [/mm] (was hier hin kommt weiß ich nicht)
Könnte mir da vielleicht jemand bitte Tipps geben??
Danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:12 Fr 03.08.2007 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, clover,
versuch's mal so: Du wirfst sozusagen "unendlich oft" und
X ist die "Nummer" des Wurfes, bei dem zum ersten Mal die 6 erscheint.
Dann ist P(X=1) = [mm] \bruch{1}{6},
[/mm]
P(X=2) = [mm] \bruch{5}{6}*\bruch{1}{6},
[/mm]
P(X=3) = [mm] (\bruch{5}{6})^{2}*\bruch{1}{6},
[/mm]
P(X=4) = [mm] (\bruch{5}{6})^{3}*\bruch{1}{6}, [/mm] usw.
Mit dem zugehörigen Erwartungswert (unendliche Reihe) komm' ich im Moment allerdings auch nicht klar!
mfG!
Zwerglein
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:04 Sa 04.08.2007 | | Autor: | Blech |
> Wie oft muss man ’im Durchschnitt’ mit einem idealen Würfel
> würfeln, bis erstmals die Sechs erscheint?
> Berechnen Sie hierzu die Wahrscheinlichkeit p dafür, dass
> die Sechs beim n-ten Wurf erstmals erscheint, und bestimmen
> Sie anschließend den Erwartungswert dieser zufälligen
> Anzahl n. Welche Standardabweichung hat n?
> Hallo Zusammen,
>
> mein Ansatz dazu lautet:
>
> n ist gesucht
>
> p = [mm]\bruch{1}{6}[/mm]
>
> Mehr weiß ich leider dazu nicht.
Wegen der Unabhängigkeit der Würfe gilt:
P("erste Sechs beim n-ten Wurf")=P("keine Sechs in den ersten n-1 Würfen")*P("n-ter Wurf ist eine Sechs")
Damit kommt man auf die Überlegung von Zwerglein.
Der Erwartungswert beruht auf der Gedächtnislosigkeit.
Sagen wir, Du wirfst den Würfel einmal und es ist keine Sechs, was ist jetzt der Erwartungswert? Immer noch der gleiche, weil der Würfel sich ja nicht merkt, daß Du ihn schon einmal geworfen hast, d.h. 10 Mißerfolge machen den Erfolg nicht wahrscheinlicher:
[mm]E(n|n\neq 1) = E(n)+1[/mm]
[mm]E(n) = 1\cdot P(n=1) + (1+ E(n))\cdot P(n \neq 1) = 1\cdot p + (1 + E(n)) \cdot (1-p)[/mm]
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