Wie interpretieren < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen sie mit Hilfe der vollständigen Induktion, dass für n [mm] \in [/mm] N gilt
[mm] \summe_{k=1}^{2^{n}} \bruch{1}{k} [/mm] > [mm] \bruch{n}{2} [/mm] |
Das Prinzip der vollständigen Induktion ist mir eigentlich klar, dennoch habe ich meine Mühe und Not mit dieser Aufgabe.
Daher meine Frage, wie muss ich das [mm] 2^{n} [/mm] interpretieren.
Danke im vorraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:45 Di 26.10.2010 | | Autor: | abakus |
> Zeigen sie mit Hilfe der vollständigen Induktion, dass
> für n [mm]\in[/mm] N gilt
>
> [mm]\summe_{k=1}^{2^{n}} \bruch{1}{k}[/mm] > [mm]\bruch{n}{2}[/mm]
> Das Prinzip der vollständigen Induktion ist mir
> eigentlich klar, dennoch habe ich meine Mühe und Not mit
> dieser Aufgabe.
>
> Daher meine Frage, wie muss ich das [mm]2^{n}[/mm] interpretieren.
>
Als 2 oder 4 oder 8 oder 16 oder ...
Gruß Abakus
> Danke im vorraus.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Das hab ich mir eigentlich auch so gedacht, aber dann ist doch die Aussage falsch, weil:
[mm] \bruch{1}{1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] > [mm] \bruch{2^{2}}{2}
[/mm]
und [mm] \bruch{3}{2} [/mm] ist nicht größer als 2
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:55 Di 26.10.2010 | | Autor: | abakus |
> Das hab ich mir eigentlich auch so gedacht, aber dann ist
> doch die Aussage falsch, weil:
>
> [mm]\bruch{1}{1}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2}[/mm] > [mm]\bruch{2^{2}}{2}[/mm]
>
> und [mm]\bruch{3}{2}[/mm] ist nicht größer als 2
Hallo,
du verwendest ZWEI Summanden ([mm]\bruch{1}{1}[/mm] und [mm]\bruch{1}{2}[/mm]). Also hat dein n den Wert EINS (denn [mm] 2=2^{EINS}).
[/mm]
Gruß Abakus
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> Hallo,
> du verwendest ZWEI Summanden ([mm]\bruch{1}{1}[/mm] und [mm]\bruch{1}{2}[/mm]). Also hat dein n den Wert EINS (denn [mm]2=2^{EINS}).[/mm]
> Gruß Abakus
>
Heißt wenn ich 4 Summanden hab, gilt n=2 (denn [mm] 4=2^{2})
[/mm]
Bei 8 Summanden n=3
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:35 Di 26.10.2010 | | Autor: | abakus |
> > Hallo,
> > du verwendest ZWEI Summanden ([mm]\bruch{1}{1}[/mm] und
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm]). Also hat dein n den Wert EINS (denn
> [mm]2=2^{EINS}).[/mm]
> > Gruß Abakus
> >
>
> Heißt wenn ich 4 Summanden hab, gilt n=2 (denn [mm]4=2^{2})[/mm]
>
> Bei 8 Summanden n=3
So isses.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:35 Di 26.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja
Gruss leduart
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Danke für die Antwort ! ! !
TrockenNass
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Ich bruach noch mal kurz eure Hilfe.
Ist der Induktionschritt [mm] 2^{n+1} [/mm] oder [mm] 2^{n}+1
[/mm]
Danke im vorraus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:19 Mi 27.10.2010 | | Autor: | abakus |
> Ich bruach noch mal kurz eure Hilfe.
>
> Ist der Induktionschritt [mm]2^{n+1}[/mm] oder [mm]2^{n}+1[/mm]
>
> Danke im vorraus
Hallo,
da n im Exponenten stand, muss jetzt (n+1) im Exponenten stehen.
Gruß Abakus
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| Aufgabe | I.A.: n=1
[mm] \summe_{k=1}^{2} \bruch{1}{k} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] > 1 = [mm] \bruch{2^{1}}{2} [/mm] = [mm] \bruch{2^{n}}{2}
[/mm]
I.V.: Es gilt: [mm] \summe_{k=1}^{2^{n}} \bruch{1}{k}
[/mm]
I.S.: n=n+1
[mm] \summe_{k=1}^{2^{n+1}} \bruch{1}{k} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{2^{n}} \bruch{1}{k} [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{2} \bruch{1}{k} [/mm] > [mm] \bruch{2^{n+1}}{2}
[/mm]
Nun meine Frage: Wie lös ich das zweite Summenzeichen auf?
= [mm] \bruch{n}{2} [/mm] + irgendwas |
Leider habe ich sowas noch nie behandelt, könnte mir bitte jemand einen Tipp geben wie ich das zweite Summenzeichen korrekt auflöse. Theoretisch müssten es ja 2 Summanden für diese eine Summenzeichen geben, aber wie sehen die aus?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:59 Mi 27.10.2010 | | Autor: | abakus |
> I.A.: n=1
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> [mm]\summe_{k=1}^{2} \bruch{1}{k}[/mm] = [mm]\bruch{1}{1}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> > 1 = [mm]\bruch{2^{1}}{2}[/mm] = [mm]\bruch{2^{n}}{2}[/mm]
>
> I.V.: Es gilt: [mm]\summe_{k=1}^{2^{n}} \bruch{1}{k}[/mm]
>
> I.S.: n=n+1
>
> [mm]\summe_{k=1}^{2^{n+1}} \bruch{1}{k}[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{2^{n}} \bruch{1}{k}[/mm]
Du hattest hier also die Brüche mit den Nennern 1 bis [mm] 2^k.
[/mm]
Dann gehen in den restlichen Summanden die Nenner nicht mehr von 1 bis ... (die stecken schon in der ersten Summe), sondern von [mm] k=2^n+1 [/mm] bis [mm] 2^{n+1}.
[/mm]
Korrigiere also Anfangs- und Endwert des nachfolgenden Summenzeichens.
Gruß Abakus
> + [mm]\summe_{k=1}^{2} \bruch{1}{k}[/mm] > [mm]\bruch{2^{n+1}}{2}[/mm]
>
> Nun meine Frage: Wie lös ich das zweite Summenzeichen
> auf?
>
> = [mm]\bruch{n}{2}[/mm] + irgendwas
> Leider habe ich sowas noch nie behandelt, könnte mir
> bitte jemand einen Tipp geben wie ich das zweite
> Summenzeichen korrekt auflöse. Theoretisch müssten es ja
> 2 Summanden für diese eine Summenzeichen geben, aber wie
> sehen die aus?
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Heißt das zweite Summenzeichen aufgelöst sieht wie folgt aus: [mm] \bruch{1}{2^{k}+1} [/mm]
Daraus folgt:
[mm] \bruch{n}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2^{n+1}+1}
[/mm]
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Hallo TrockenNass,
> Heißt das zweite Summenzeichen aufgelöst sieht wie folgt
> aus: [mm]\bruch{1}{2^{k}+1}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Das ist doch nur der erste Summand ...
Es ist [mm]\sum\limits_{k=1}^{2^{n+1}}\frac{1}{k} \ = \ \sum\limits_{k=1}^{2^n}\frac{1}{k} \ + \ \sum\limits_{k=2^n+1}^{2^{n+1}}\frac{1}{k}[/mm]
Wieviele Summanden sind das denn in der letzten Summe?
Überlege dir das mal, dann kannst du die Summe durch den kleinsten Summanden, der auftritt nach unten abschätzen, indem du jeden Summanden durch diesen kleinsten Summanden abschätzt ...
>
> Daraus folgt:
> [mm]\bruch{n}{2}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2^{n+1}+1}[/mm]
Gruß
schachuzipus
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Also ich will ja jetzt nicht meckern, aber das
[mm]\sum\limits_{k=1}^{2^{n+1}}\frac{1}{k} \ = \ \sum\limits_{k=1}^{2^n}\frac{1}{k} \ + \ \sum\limits_{k=2^n+1}^{2^{n+1}}\frac{1}{k}[/mm]
kommt mir ein bisschen Spanisch vor.
Ist es nicht [mm] \summe_{k=1}^{2^{n+1}} \bruch{1}{k} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{2^{n}} \bruch{1}{k} [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{2^{1}} \bruch{1}{k}
[/mm]
Daraus folgt: [mm] \bruch{n}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2^{n+1}}
[/mm]
Und daraus folgt: [mm] \bruch{n}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2^{n}*2}
[/mm]
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Kann sein das mein Denkfehler war das: [mm] 2^{n+1} [/mm] = [mm] 2^{n} [/mm] + 2 ist.
Aber in wirklichkeit ist [mm] 2^{n+1} [/mm] = [mm] 2^{n} [/mm] * 2
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Hallo nochmal,
> Kann sein das mein Denkfehler war das: [mm]2^{n+1}[/mm] = [mm]2^{n}[/mm] + 2
> ist.
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> Aber in wirklichkeit ist [mm]2^{n+1}[/mm] = [mm]2^{n}[/mm] * 2
Kann sein, dass das dein Denkfehler war, es erklärt aber trotzdem deine 2.Summe nicht 
Nun nachdem das geklärt ist, überlege, wieviele Summanden diese letzte Summe enthält (ist ja nun nicht mehr schwierig zu erraten )
Dann schätze (wie gesagt) jeden ihrer Summanden durch den kleinsten ab.
Nebenbei: Welcher ist das ?
Gruß
schachuzipus
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$ [mm] \sum\limits_{k=1}^{2^{n+1}}\frac{1}{k} [/mm] \ = \ [mm] \sum\limits_{k=1}^{2^n}\frac{1}{k} [/mm] \ + \ [mm] \sum\limits_{k=2^n+1}^{2^{n+1}}\frac{1}{k} [/mm] $
= [mm] \bruch{n}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2^{n}} [/mm] * [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Stimmt das jetzt ?
Wenn nein was muss ich ändern ?
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Hallo nochmal,
> [mm]\sum\limits_{k=1}^{2^{n+1}}\frac{1}{k} \ = \ \sum\limits_{k=1}^{2^n}\frac{1}{k} \ + \ \sum\limits_{k=2^n+1}^{2^{n+1}}\frac{1}{k}[/mm]
>
> [mm]\red{=} \bruch{n}{2}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2^{n}}[/mm] * [mm]\bruch{1}{2}[/mm][/mm]
>
> Stimmt das jetzt ?
Nein!
>
> Wenn nein was muss ich ändern ?
Nun, beantworte erstmal meine permanete Rückfrage!
Wieviele Summanden sind in der hintersten Summe?
Wie du die abschätzen kannst, habe ich 2mal geschrieben, ich tu's kein drittes Mal.
Zum anderen stimmt doch das [mm]\red{=}[/mm] nicht.
Nach (IV) ist das erstmal [mm]\red{>} \ \frac{n}{2}+\sum\limits_{k=2^n+1}^{2^{n+1}}\frac{1}{k}[/mm]
Nun die Abschätzung ... denke daran, du willst schlussendlich auf [mm]\ldots \ > \ \frac{n+1}{2}[/mm] kommen!
Gruß
schachuzipus
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Zunächst einmal sind in der hintersten Summe [mm] 2^{n+1} [/mm] Summanden = 4
Zur Abschätzung: $ \ [mm] \frac{n}{2}+\sum\limits_{k=2^n+1}^{2^{n+1}}\frac{1}{k} [/mm] $ muss > [mm] \frac{n+1}{2} [/mm]
Dann muss [mm] \sum\limits_{k=2^n+1}^{2^{n+1}}\frac{1}{k} [/mm] > [mm] \bruch{1}{2} [/mm] sein
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Hallo nochmal,
> Zunächst einmal sind in der hintersten Summe [mm]2^{n+1}[/mm] Summanden
Nein es sind in der Ausgangssumme [mm]2^{n+1}[/mm] viele. Davon haben wir [mm]2^n[/mm] viele (von [mm]k=1[/mm] bis [mm]k=2^n[/mm]) in die erste Summe gepackt.
In der anderen sind folglich auch noch [mm]2^n[/mm] viele Summanden.
Stimmt das auch? Ja, von [mm]k=2^n+1[/mm] bis [mm]k=2^{n+1}[/mm] musst du [mm]2^n[/mm] Schritte gehen!
> = 4
????????? Wieso das? n ist doch beliebig ...
> Zur Abschätzung: [mm]\ \frac{n}{2}+\sum\limits_{k=2^n+1}^{2^{n+1}}\frac{1}{k}[/mm]
> muss > [mm]\frac{n+1}{2}[/mm]
>
> Dann muss [mm]\sum\limits_{k=2^n+1}^{2^{n+1}}\frac{1}{k}[/mm] >
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] sein
Betrachten wir nur die hintere Summe [mm]\sum\limits_{k=2^n+1}^{2^{n+1}}\frac{1}{k}[/mm]. Die hat [mm]2^n[/mm] Summanden, der kleinste ist der mit dem größten Nenner - ist dir das klar?
Das ist der letzte Summand, also [mm]\frac{1}{2^{n+1}}[/mm]
Also können wir jeden Summanden durch [mm]\frac{1}{2^{n+1}}[/mm] abschätzen:
[mm]\sum\limits_{k=2^n+1}^{2^{n+1}}\frac{1}{k} \ > \ \sum\limits_{k=2^n+1}^{2^{n+1}}\frac{1}{2^{n+1}}=\underbrace{\frac{1}{2^{n+1}}+\frac{1}{2^{n+1}}+\ldots+\frac{1}{2^{n+1}}}_{2^n-mal}[/mm]
[mm]=2^n\cdot{}\frac{1}{2^{n+1}}[/mm]
Insgesamt: [mm]\sum\limits_{k=1}^{2^{n+1}}\frac{1}{k} \ = \ \sum\limits_{k=1}^{2^n}\frac{1}{k} \ + \ \sum\limits_{k=2^n+1}^{2^{n+1}}\frac{1}{k} \ \underset{IV}{>} \ \frac{n}{2} \ + \ \sum\limits_{k=2^n+1}^{2^{n+1}}\frac{1}{k}[/mm]
[mm]> \ \frac{n}{2} \ + \ 2^n\cdot{}\frac{1}{2^{n+1}}=\frac{n}{2}+\frac{1}{2}=\frac{n+1}{2}[/mm]
So wie es sein sollte.
Nun habe ich das Ganze doch hingeschrieben - naja, schau's dir in Ruhe durch und merke dir die Abschätzung durch den kleinsten Summanden, das ist ein wiederkehrender "Trick"
LG
schachuzipus
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Vielen Dank, dass du dir die Mühe gemacht hast, DANKE
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![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]"){kind=small}
