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Forum "Uni-Analysis-Induktion" - Wie interpretieren
Wie interpretieren < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Wie interpretieren: Wie muss ich n anwenden
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:42 Di 26.10.2010
Autor: TrockenNass

Aufgabe
Zeigen sie mit Hilfe der vollständigen Induktion, dass für n [mm] \in [/mm] N gilt

[mm] \summe_{k=1}^{2^{n}} \bruch{1}{k} [/mm] > [mm] \bruch{n}{2} [/mm]

Das Prinzip der vollständigen Induktion ist mir eigentlich klar, dennoch habe ich meine Mühe und Not mit dieser Aufgabe.

Daher meine Frage, wie muss ich das [mm] 2^{n} [/mm] interpretieren.

Danke im vorraus.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Wie interpretieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:45 Di 26.10.2010
Autor: abakus


> Zeigen sie mit Hilfe der vollständigen Induktion, dass
> für n [mm]\in[/mm] N gilt
>  
> [mm]\summe_{k=1}^{2^{n}} \bruch{1}{k}[/mm] > [mm]\bruch{n}{2}[/mm]
>  Das Prinzip der vollständigen Induktion ist mir
> eigentlich klar, dennoch habe ich meine Mühe und Not mit
> dieser Aufgabe.
>  
> Daher meine Frage, wie muss ich das [mm]2^{n}[/mm] interpretieren.
>  

Als 2 oder 4 oder 8 oder 16 oder ...
Gruß Abakus

> Danke im vorraus.
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Bezug
                
Bezug
Wie interpretieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:49 Di 26.10.2010
Autor: TrockenNass

Das hab ich mir eigentlich auch so gedacht, aber dann ist doch die Aussage falsch, weil:

[mm] \bruch{1}{1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] > [mm] \bruch{2^{2}}{2} [/mm]

und [mm] \bruch{3}{2} [/mm] ist nicht größer als 2

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Bezug
Wie interpretieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:55 Di 26.10.2010
Autor: abakus


> Das hab ich mir eigentlich auch so gedacht, aber dann ist
> doch die Aussage falsch, weil:
>  
> [mm]\bruch{1}{1}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2}[/mm] > [mm]\bruch{2^{2}}{2}[/mm]
>  
> und [mm]\bruch{3}{2}[/mm] ist nicht größer als 2

Hallo,
du verwendest ZWEI Summanden ([mm]\bruch{1}{1}[/mm] und [mm]\bruch{1}{2}[/mm]). Also hat dein n den Wert EINS (denn [mm] 2=2^{EINS}). [/mm]
Gruß Abakus


Bezug
                                
Bezug
Wie interpretieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:29 Di 26.10.2010
Autor: TrockenNass


> Hallo,
>  du verwendest ZWEI Summanden ([mm]\bruch{1}{1}[/mm] und [mm]\bruch{1}{2}[/mm]). Also hat dein n den Wert EINS (denn [mm]2=2^{EINS}).[/mm]
>  Gruß Abakus
>  

Heißt wenn ich 4 Summanden hab, gilt n=2 (denn [mm] 4=2^{2}) [/mm]

Bei 8 Summanden n=3

Bezug
                                        
Bezug
Wie interpretieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:35 Di 26.10.2010
Autor: abakus


> > Hallo,
>  >  du verwendest ZWEI Summanden ([mm]\bruch{1}{1}[/mm] und
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm]). Also hat dein n den Wert EINS (denn
> [mm]2=2^{EINS}).[/mm]
>  >  Gruß Abakus
>  >  
>
> Heißt wenn ich 4 Summanden hab, gilt n=2 (denn [mm]4=2^{2})[/mm]
>  
> Bei 8 Summanden n=3

So isses.


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Bezug
Wie interpretieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:35 Di 26.10.2010
Autor: leduart

Hallo
ja
Gruss leduart


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Bezug
Wie interpretieren: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:48 Di 26.10.2010
Autor: TrockenNass

Danke für die Antwort ! ! !

TrockenNass

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Bezug
Wie interpretieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:36 Mi 27.10.2010
Autor: TrockenNass

Ich bruach noch mal kurz eure Hilfe.

Ist der Induktionschritt [mm] 2^{n+1} [/mm] oder [mm] 2^{n}+1 [/mm]

Danke im vorraus

Bezug
                                                
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Wie interpretieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:19 Mi 27.10.2010
Autor: abakus


> Ich bruach noch mal kurz eure Hilfe.
>  
> Ist der Induktionschritt [mm]2^{n+1}[/mm] oder [mm]2^{n}+1[/mm]
>  
> Danke im vorraus

Hallo,
da n im Exponenten stand, muss jetzt (n+1) im Exponenten stehen.
Gruß Abakus


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Bezug
Wie interpretieren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:25 Mi 27.10.2010
Autor: TrockenNass

Danke

Bezug
                                                        
Bezug
Wie interpretieren: Wie geht es weiter?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:50 Mi 27.10.2010
Autor: TrockenNass

Aufgabe
I.A.: n=1

[mm] \summe_{k=1}^{2} \bruch{1}{k} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] > 1 = [mm] \bruch{2^{1}}{2} [/mm] = [mm] \bruch{2^{n}}{2} [/mm]

I.V.: Es gilt: [mm] \summe_{k=1}^{2^{n}} \bruch{1}{k} [/mm]

I.S.: n=n+1

[mm] \summe_{k=1}^{2^{n+1}} \bruch{1}{k} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{2^{n}} \bruch{1}{k} [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{2} \bruch{1}{k} [/mm] > [mm] \bruch{2^{n+1}}{2} [/mm]

Nun meine Frage: Wie lös ich das zweite Summenzeichen auf?

= [mm] \bruch{n}{2} [/mm] + irgendwas

Leider habe ich sowas noch nie behandelt, könnte mir bitte jemand einen Tipp geben wie ich das zweite Summenzeichen korrekt auflöse. Theoretisch müssten es ja 2 Summanden für diese eine Summenzeichen geben, aber wie sehen die aus?

Bezug
                                                                
Bezug
Wie interpretieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:59 Mi 27.10.2010
Autor: abakus


> I.A.: n=1
>  
> [mm]\summe_{k=1}^{2} \bruch{1}{k}[/mm] = [mm]\bruch{1}{1}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> > 1 = [mm]\bruch{2^{1}}{2}[/mm] = [mm]\bruch{2^{n}}{2}[/mm]
>  
> I.V.: Es gilt: [mm]\summe_{k=1}^{2^{n}} \bruch{1}{k}[/mm]
>  
> I.S.: n=n+1
>  
> [mm]\summe_{k=1}^{2^{n+1}} \bruch{1}{k}[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{2^{n}} \bruch{1}{k}[/mm]

Du hattest hier also die Brüche mit den Nennern 1 bis [mm] 2^k. [/mm]
Dann gehen in den restlichen Summanden die Nenner nicht mehr von 1 bis ... (die stecken schon in der ersten Summe), sondern von [mm] k=2^n+1 [/mm] bis [mm] 2^{n+1}. [/mm]
Korrigiere also Anfangs- und Endwert des nachfolgenden Summenzeichens.
Gruß Abakus

> + [mm]\summe_{k=1}^{2} \bruch{1}{k}[/mm] > [mm]\bruch{2^{n+1}}{2}[/mm]
>  
> Nun meine Frage: Wie lös ich das zweite Summenzeichen
> auf?
>  
> = [mm]\bruch{n}{2}[/mm] + irgendwas
>  Leider habe ich sowas noch nie behandelt, könnte mir
> bitte jemand einen Tipp geben wie ich das zweite
> Summenzeichen korrekt auflöse. Theoretisch müssten es ja
> 2 Summanden für diese eine Summenzeichen geben, aber wie
> sehen die aus?


Bezug
                                                                        
Bezug
Wie interpretieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:29 Mi 27.10.2010
Autor: TrockenNass

Heißt das zweite Summenzeichen aufgelöst sieht wie folgt aus: [mm] \bruch{1}{2^{k}+1} [/mm]

Daraus folgt:
[mm] \bruch{n}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2^{n+1}+1} [/mm]

Bezug
                                                                                
Bezug
Wie interpretieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:30 Mi 27.10.2010
Autor: schachuzipus

Hallo TrockenNass,



> Heißt das zweite Summenzeichen aufgelöst sieht wie folgt
> aus: [mm]\bruch{1}{2^{k}+1}[/mm]  [notok]

Das ist doch nur der erste Summand ...

Es ist [mm]\sum\limits_{k=1}^{2^{n+1}}\frac{1}{k} \ = \ \sum\limits_{k=1}^{2^n}\frac{1}{k} \ + \ \sum\limits_{k=2^n+1}^{2^{n+1}}\frac{1}{k}[/mm]

Wieviele Summanden sind das denn in der letzten Summe?

Überlege dir das mal, dann kannst du die Summe durch den kleinsten Summanden, der auftritt nach unten abschätzen, indem du jeden Summanden durch diesen kleinsten Summanden abschätzt ...


>
> Daraus folgt:
>  [mm]\bruch{n}{2}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2^{n+1}+1}[/mm]  


Gruß

schachuzipus


Bezug
                                                                                        
Bezug
Wie interpretieren: Fehler ?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:43 Mi 27.10.2010
Autor: TrockenNass

Also ich will ja jetzt nicht meckern, aber das

[mm]\sum\limits_{k=1}^{2^{n+1}}\frac{1}{k} \ = \ \sum\limits_{k=1}^{2^n}\frac{1}{k} \ + \ \sum\limits_{k=2^n+1}^{2^{n+1}}\frac{1}{k}[/mm]

kommt mir ein bisschen Spanisch vor.

Ist es nicht [mm] \summe_{k=1}^{2^{n+1}} \bruch{1}{k} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{2^{n}} \bruch{1}{k} [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{2^{1}} \bruch{1}{k} [/mm]

Daraus folgt: [mm] \bruch{n}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2^{n+1}} [/mm]

Und daraus folgt: [mm] \bruch{n}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2^{n}*2} [/mm]

Bezug
                                                                                                
Bezug
Wie interpretieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:50 Mi 27.10.2010
Autor: schachuzipus

Olé



> Also ich will ja jetzt nicht meckern, aber das
>
> [mm]\sum\limits_{k=1}^{2^{n+1}}\frac{1}{k} \ = \ \sum\limits_{k=1}^{2^n}\frac{1}{k} \ + \ \sum\limits_{k=2^n+1}^{2^{n+1}}\frac{1}{k}[/mm]
>  
> kommt mir ein bisschen Spanisch vor.
>  
> Ist es nicht [mm]\summe_{k=1}^{2^{n+1}} \bruch{1}{k}[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{2^{n}} \bruch{1}{k}[/mm] + [mm]\summe_{k=1}^{2^{1}} \bruch{1}{k}[/mm] [notok] [kopfschuettel]

Wir sind uns einig, dass die allererste Summe [mm] $\sum\limits_{k=1}^{2^{n+1}}\frac{1}{k}$ [/mm] von der nat. Zahl $k=1$ bis zur nat. Zahl [mm] $k=2^{n+1}$ [/mm] läuft.

Das teile ich auf, indem ich mit einer Summe von $k=1$ bis [mm] $k=2^n$ [/mm] laufe und in eine andere, die von der nächsten Zahl nach [mm] $2^n$ [/mm] bis [mm] $2^{n+1}$ [/mm] läuft.

Was ist denn deiner Meinung nach die nächste nat. Zahl nach [mm] $2^{n}$ [/mm] ??

Nicht [mm] $2^n+1$ [/mm] ??

>  
> Daraus folgt das wäre dann gleich: [mm]\bruch{n}{2}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2^{n+1}}[/mm] [notok]
>  
> Und daraus folgt:  [mm]\bruch{n}{2}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2^{n}*2}[/mm] ???

Das ist höchstens gleich, du kannst nur Aussagen folgern, keine Terme!


Holà

schachuzipus
  


Bezug
                                                                                                        
Bezug
Wie interpretieren: Fehler erkannt?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:07 Mi 27.10.2010
Autor: TrockenNass

Kann sein das mein Denkfehler war das: [mm] 2^{n+1} [/mm] = [mm] 2^{n} [/mm] + 2 ist.

Aber in wirklichkeit ist [mm] 2^{n+1} [/mm] = [mm] 2^{n} [/mm] * 2

Bezug
                                                                                                                
Bezug
Wie interpretieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:10 Mi 27.10.2010
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,


> Kann sein das mein Denkfehler war das: [mm]2^{n+1}[/mm] = [mm]2^{n}[/mm] + 2
> ist.
>
> Aber in wirklichkeit ist [mm]2^{n+1}[/mm] = [mm]2^{n}[/mm] * 2  

Kann sein, dass das dein Denkfehler war, es erklärt aber trotzdem deine 2.Summe nicht ;-)

Nun nachdem das geklärt ist, überlege, wieviele Summanden diese letzte Summe enthält (ist ja nun nicht mehr schwierig zu erraten ;-))

Dann schätze (wie gesagt) jeden ihrer Summanden durch den kleinsten ab.

Nebenbei: Welcher ist das ?

Gruß

schachuzipus


Bezug
                                                                                                                        
Bezug
Wie interpretieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:29 Mi 27.10.2010
Autor: TrockenNass

$ [mm] \sum\limits_{k=1}^{2^{n+1}}\frac{1}{k} [/mm] \ = \ [mm] \sum\limits_{k=1}^{2^n}\frac{1}{k} [/mm] \ + \ [mm] \sum\limits_{k=2^n+1}^{2^{n+1}}\frac{1}{k} [/mm] $

= [mm] \bruch{n}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2^{n}} [/mm] * [mm] \bruch{1}{2} [/mm]

Stimmt das jetzt ?

Wenn nein was muss ich ändern ?

Bezug
                                                                                                                                
Bezug
Wie interpretieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:36 Mi 27.10.2010
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,




> [mm]\sum\limits_{k=1}^{2^{n+1}}\frac{1}{k} \ = \ \sum\limits_{k=1}^{2^n}\frac{1}{k} \ + \ \sum\limits_{k=2^n+1}^{2^{n+1}}\frac{1}{k}[/mm]
>
> [mm]\red{=} \bruch{n}{2}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2^{n}}[/mm] * [mm]\bruch{1}{2}[/mm][/mm]
>  
> Stimmt das jetzt ?

Nein!

>  
> Wenn nein was muss ich ändern ?

Nun, beantworte erstmal meine permanete Rückfrage!


Wieviele Summanden sind in der hintersten Summe?

Wie du die abschätzen kannst, habe ich 2mal geschrieben, ich tu's kein drittes Mal.

Zum anderen stimmt doch das [mm]\red{=}[/mm] nicht.

Nach (IV) ist das erstmal [mm]\red{>} \ \frac{n}{2}+\sum\limits_{k=2^n+1}^{2^{n+1}}\frac{1}{k}[/mm]

Nun die Abschätzung ... denke daran, du willst schlussendlich auf [mm]\ldots \ > \ \frac{n+1}{2}[/mm] kommen!

Gruß

schachuzipus


Bezug
                                                                                                                                        
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Wie interpretieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:53 Mi 27.10.2010
Autor: TrockenNass

Zunächst einmal sind in der hintersten Summe [mm] 2^{n+1} [/mm] Summanden = 4

Zur Abschätzung: $  \ [mm] \frac{n}{2}+\sum\limits_{k=2^n+1}^{2^{n+1}}\frac{1}{k} [/mm] $ muss >  [mm] \frac{n+1}{2} [/mm]

Dann muss [mm] \sum\limits_{k=2^n+1}^{2^{n+1}}\frac{1}{k} [/mm]  > [mm] \bruch{1}{2} [/mm] sein

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Wie interpretieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:05 Mi 27.10.2010
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,


> Zunächst einmal sind in der hintersten Summe [mm]2^{n+1}[/mm] Summanden [notok]

Nein es sind in der Ausgangssumme [mm]2^{n+1}[/mm] viele. Davon haben wir [mm]2^n[/mm] viele (von [mm]k=1[/mm] bis [mm]k=2^n[/mm]) in die erste Summe gepackt.

In der anderen sind folglich auch noch [mm]2^n[/mm] viele Summanden.

Stimmt das auch? Ja, von [mm]k=2^n+1[/mm] bis [mm]k=2^{n+1}[/mm] musst du [mm]2^n[/mm] Schritte gehen!


> = 4

????????? Wieso das? n ist doch beliebig ...

> Zur Abschätzung: [mm]\ \frac{n}{2}+\sum\limits_{k=2^n+1}^{2^{n+1}}\frac{1}{k}[/mm]
> muss >  [mm]\frac{n+1}{2}[/mm]

>
> Dann muss [mm]\sum\limits_{k=2^n+1}^{2^{n+1}}\frac{1}{k}[/mm]  >
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] sein

Betrachten wir nur die hintere Summe [mm]\sum\limits_{k=2^n+1}^{2^{n+1}}\frac{1}{k}[/mm]. Die hat [mm]2^n[/mm] Summanden, der kleinste ist der mit dem größten Nenner - ist dir das klar?

Das ist der letzte Summand, also [mm]\frac{1}{2^{n+1}}[/mm]

Also können wir jeden Summanden durch [mm]\frac{1}{2^{n+1}}[/mm] abschätzen:

[mm]\sum\limits_{k=2^n+1}^{2^{n+1}}\frac{1}{k} \ > \ \sum\limits_{k=2^n+1}^{2^{n+1}}\frac{1}{2^{n+1}}=\underbrace{\frac{1}{2^{n+1}}+\frac{1}{2^{n+1}}+\ldots+\frac{1}{2^{n+1}}}_{2^n-mal}[/mm]

[mm]=2^n\cdot{}\frac{1}{2^{n+1}}[/mm]

Insgesamt: [mm]\sum\limits_{k=1}^{2^{n+1}}\frac{1}{k} \ = \ \sum\limits_{k=1}^{2^n}\frac{1}{k} \ + \ \sum\limits_{k=2^n+1}^{2^{n+1}}\frac{1}{k} \ \underset{IV}{>} \ \frac{n}{2} \ + \ \sum\limits_{k=2^n+1}^{2^{n+1}}\frac{1}{k}[/mm]

[mm]> \ \frac{n}{2} \ + \ 2^n\cdot{}\frac{1}{2^{n+1}}=\frac{n}{2}+\frac{1}{2}=\frac{n+1}{2}[/mm]

So wie es sein sollte.

Nun habe ich das Ganze doch hingeschrieben - naja, schau's dir in Ruhe durch und merke dir die Abschätzung durch den kleinsten Summanden, das ist ein wiederkehrender "Trick"

LG

schachuzipus


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Bezug
Wie interpretieren: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:21 Mi 27.10.2010
Autor: TrockenNass

Vielen Dank, dass du dir die Mühe gemacht hast, DANKE

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