Wie heißt die Verteilung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:51 So 28.02.2010 | | Autor: | Cybrina |
| Aufgabe | Es sei [mm] \underline{X}=(X_1,X_2,\dots,X_n) [/mm] eine mathematische Stichprobe, wobei die Zufallsvariablen [mm] X_i (i=1,2,\dots,n) [/mm] unabhängig und identisch Poisson-verteilt sind mit Parametern [mm] \lambda\in(0,\infty). [/mm] Es bezeichne [mm] \overline{X}:=\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^nX_i.
[/mm]
Welche Verteilung hat die Zufallsvariable
[mm] \sqrt{n}\left(\bruch{\overline{X}-\lambda}{\sqrt{\lambda}}\right) [/mm] |
Ich bräuchte mal Hilfe beim "ordentlichen" Argumentieren, wie ich das morgen in meiner Klausur auch tun müsste...
Also, da [mm] X_i (i=1,2,\dots,n) [/mm] Poisson-verteilt sind, ist
[mm] EX_i=\lambda
[/mm]
[mm] var(X_i)=\lambda
[/mm]
Damit gilt
[mm] \sqrt{n}\left(\bruch{\overline{X}-\lambda}{\sqrt{\lambda}}\right)=\sqrt{n}\left(\bruch{\overline{X}-EX_1}{\sqrt{var{X_1}}}\right)=\left(\bruch{\overline{X}-E\overline{X}}{\bruch{\sqrt{var{\overline{X}}}}{\sqrt{n}}}\right)
[/mm]
und wenn [mm] \overline{X} [/mm] jetzt also normalverteilt wäre mit Parametern [mm] (\mu=E\overline{X},\sigma^2=var{\overline{X}}) [/mm] wär das ganze offensichtlich N(0,1) verteilt.
Ist [mm] \overline{X} [/mm] für große n normalverteilt? Warum? Oder ist das klar?
Und kann ich dann so argumentieren?
Danke schonmal,
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:29 So 28.02.2010 | | Autor: | luis52 |
Moin
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> Ist [mm]\overline{X}[/mm] für große n normalverteilt? Warum? Oder
> ist das klar?
[mm] $\sum X_i$ [/mm] ist Poisson-verteilt mit Parameter [mm] $n\lambda$. [/mm] Also kann [mm] $\bar [/mm] X$ nicht normalverteilt sein. Nach dem ZGS ist aber
$ [mm] \sqrt{n}\left(\bruch{\overline{X}-\lambda}{\sqrt{\lambda}}\right)$
[/mm]
*asymptotisch* standardnormalverteilt.
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:37 So 28.02.2010 | | Autor: | Cybrina |
Ah okay. Dankeschön
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