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Forum "Mathe Klassen 8-10" - Wie begründe ich richtig
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Wie begründe ich richtig: Erklärung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:35 Di 06.12.2005
Autor: Beliar

Hallo,
für die nächste Klausur stehen Begründungen an. Meine Frage an Hand dieser Aufgabe ist, wie schreibe ich das richtig in der Klausur?
f(x) = [mm] x^3 [/mm] - [mm] x^2 [/mm] - 6x
f(x) = x ( [mm] x^2 [/mm] - x -6)
f(x) = x ( x+2)(x-3)
ergibt Nullstellen 0;-2;3
wie begründe ich meine Vorgehensweise(mathematisch)?
        
Bezug
Wie begründe ich richtig: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:21 Di 06.12.2005
Autor: Karl_Pech

Hallo Beliar,


> Für die nächste Klausur stehen Begründungen an. Meine
> Frage an Hand dieser Aufgabe ist, wie schreibe ich das
> richtig in der Klausur?
>
>
>  [mm]\begin{array}{rcl}f\left(x\right) & = & x^3 - x^2 - 6x \\ {} & = & x\left(x^2 - x - 6\right) \\ {} & = & x\left(x+2\right)\left(x-3\right)\end{array}[/mm]
>
>
>  ergibt Nullstellen 0;-2;3
>
>
>  wie begründe ich meine Vorgehensweise (mathematisch)?


Was meinst Du denn genau? So wie ich das sehe, hast Du doch alles mathematisch begründet. :-) Du hättest deine Umformungssschritte aber auch in eine einzige Gleichungskette schreiben können (siehe oben). Eventuell geht es dir ja um die quadratische Gleichung [mm] $x^2 [/mm] - x - 6 = 0$


Interessant an dieser Gleichung ist, daß sie


1.) In einem gewissen Sinne normiert ist, also von der Form [mm] $x^2 [/mm] + px + q = 0$ ist

2.) $p$ und $q$ hier klein sind.


Also könnte man es hier mit dem []Satz von Vieta versuchen. Es gilt dann:


$-p = [mm] x_2 [/mm] + [mm] x_3 \wedge [/mm] q = [mm] x_2x_3$ [/mm]


und damit


$1 = [mm] x_2 [/mm] + [mm] x_3 \wedge [/mm] -6 = [mm] x_2x_3$ [/mm]


Wie kann -6 als Produkt ganzzahliger Faktoren gebildet werden? Es gilt:


$-6 = [mm] -2\cdot{3}$ [/mm]


oder


$-6 = [mm] 2\cdot{\left(-3\right)}$ [/mm]


Setze mal beide Fälle in die obigen Gleichungen ein, und Du kriegst die Nullstellen sofort raus (nur ein Fall erfüllt beide Bedingungen). Für härtere Fälle, wo die Wurzeln z.B. irrational sind, braucht man allerdings die []p/q-Formel (inoffiziell auch als die Brahmaguptische Gleichung bekannt).



Grüße
Karl




Bezug
        
Bezug
Wie begründe ich richtig: Begründung: Nullprodukt
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:35 Di 06.12.2005
Autor: Loddar

Hallo Beliar!


>  f(x) = x ( x+2)(x-3)
>  ergibt Nullstellen 0;-2;3

Oder meinst Du die Begründung, warum das gerade die Nullstellen sind?


Das kannst Du begründen durch den Satz: "Ein Produkt ist genau dann gleich Null, wenn (mind.) einer der Faktoren gleich Null ist".

[mm] $\gdw$ [/mm]   $x \ = \ 0$     oder     $x+2 \ = \ 0$     oder     $x-3 \ = \ 0$

[mm] $\gdw$ [/mm]   $x \ = \ 0$     oder     $x \ = \ -2$     oder     $x \ = \ +3$


Gruß
Loddar

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