Wettermodell Übergangsmatrix < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:32 Di 26.06.2012 | | Autor: | dimi727 |
| Aufgabe | DasWetter am Tag n wird durch die Zufallsgröße Xn beschrieben, die die Werte 0 (Regen)
und 1 (Sonne) annimmt. Die Übergangsmatrix ist gegeben durch
P= [mm] \pmat{ 1-p_{01} & p_{01} \\ 1-p_{10} & p_{10} } [/mm] wobei [mm] p_{01},p_{10} \in [/mm] [0,1]
(i) Zeigen sie
[mm] P^{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{p_{01}+p_{10}}\pmat{ p_{10} & p_{01} \\ p_{10} & p_{01} } [/mm] + [mm] \bruch{(1-p_{01}-p_{10})^{n}}{p_{01}+p_{10}}\pmat{ p_{01} & -p_{01} \\ -p_{10} & p_{10} }
[/mm]
und berechnen sie den Grenzwert [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} P^{n}
[/mm]
(ii) Bestimmen Sie zunächst allgemein die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse
A = { am Tag der deutschen Einheit (2012) regnet es g};
B = { das Osterwochenende 2013 (Fr-Mo) ist regenfrei g};
jeweils unter der Annahme, dass es heute (am Tag 0) regnet beziehungsweise dass heute die Sonne scheint. Berechnen Sie dann die Wahrscheinlichkeiten für die konkreten Parameter p01 = 0,4 und p10 = 0,3. |
Hi!
zu i)
Wie zeige ich das am besten? Denke nicht durch 2,3mal multipilizeren von P? Eher via Induktion?
EDIT : Also wenns nach Induktion laufen soll, habe ich den I.A., aber den Schritt n -> n+1 kriege ich nicht hin,sehe nicht,wie ich das (1-p01-p10) da rauskriegen soll..
Beim Grenzwert siehts dagegen einfach aus :
1. Fall (1-p10-p01) [mm] \in [/mm] (0,1) mit p01,p10 [mm] \in [/mm] [0,1]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} P^{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{p_{01}+p_{10}}\pmat{ p_{10} & p_{10} \\ p_{01} & p_{01} }
[/mm]
2. Fall p01=p10=0
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} P^{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{p_{01}+p_{10}}\pmat{ p_{10}+p_{01} & 0 \\ 0 & p_{01}+p_{10} }
[/mm]
3. Fall p01=p10=1 (wobei ich mir hier nicht sicher bin, ob das so gemacht werden kann beim limes?)
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} P^{n} [/mm] = [mm] \begin{cases} \bruch{1}{p_{01}+p_{10}}\pmat{ p_{10}+p_{01} & 0 \\ 0 & p_{01}+p_{10} }, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ \bruch{1}{p_{01}+p_{10}}\pmat{ p_{10}-p_{01} & 2p_{01} \\ 2p_{10} & p_{01}-p_{10} }, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}
[/mm]
(ii)
Hier Bin ich mir gar nicht sicher... was ist heute? So wie es in der Aufgabe steht, kann ich garnicht die Tage von heute bis zum Tag der deutschen Einheit berechnen,weil nirgendwo steht,was heute ist(heutiges Datum oder Datum der Herausgabe des Blattes),also denke ich, wird das nicht so wichtig sein?
Nehmen wir an,ich weiß,wieviele tage von Tag 0 bis zum TddE sind, muss ich dann nicht den Anfangsvektor (0 1) * [mm] P^{Anzahl der Tage}
[/mm]
rechnen? Dann kriege ich eine Matrix raus und wo lese ich dort dann die Wkeit ab?
Hoffe es kann mir wer helfen. VG!
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Hallo,
> zu i)
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> Wie zeige ich das am besten? Denke nicht durch 2,3mal
> multipilizeren von P? Eher via Induktion?
Richtig, das ist ein Fall für die vollstänige Induktion.
> EDIT : Also wenns nach Induktion laufen soll, habe ich den
> I.A., aber den Schritt n -> n+1 kriege ich nicht hin,sehe
> nicht,wie ich das (1-p01-p10) da rauskriegen soll..
Na ja, du musst eben beide Matrizen in der Formel für [mm] P^n [/mm] von rechts her mit P multiplizieren und dann umformen, so lange bis A(n+1) wie gewünscht dasteht.
> Beim Grenzwert siehts dagegen einfach aus :
>
> 1. Fall (1-p10-p01) [mm]\in[/mm] (0,1) mit p01,p10 [mm]\in[/mm] [0,1]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} P^{n}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{p_{01}+p_{10}}\pmat{ p_{10} & p_{10} \\
p_{01} & p_{01} }[/mm]
>
> 2. Fall p01=p10=0
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} P^{n}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{p_{01}+p_{10}}\pmat{ p_{10}+p_{01} & 0 \\
0 & p_{01}+p_{10} }[/mm]
>
> 3. Fall p01=p10=1 (wobei ich mir hier nicht sicher bin, ob
> das so gemacht werden kann beim limes?)
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} P^{n}[/mm] = [mm]\begin{cases} \bruch{1}{p_{01}+p_{10}}\pmat{ p_{10}+p_{01} & 0 \\
0 & p_{01}+p_{10} }, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\
\bruch{1}{p_{01}+p_{10}}\pmat{ p_{10}-p_{01} & 2p_{01} \\
2p_{10} & p_{01}-p_{10} }, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}[/mm]
>
>
An diesem Punkt erscheint mir persönlich jetzt ein Teil der Aufgabenstellung jedesmal merkwürdiger, wenn ich draufschaue: sind wirklich [mm] p_{01}, p_{10}\in{[0;1]} [/mm] und nicht etwa aus (0,1)? Die zu zeigende Darstellung für [mm] P^n [/mm] gilt jedenfaslls nur, wenn mindestens eine der Übergangwahrscheinlichkeiten ungleich Null ist. Und für diesen Fall ist auch der Grenzwert einfach, da musst du dir nur den Vorfaktor des zweiten Summanden näher anschauen.
> (ii)
>
> Hier Bin ich mir gar nicht sicher... was ist heute? So wie
> es in der Aufgabe steht, kann ich garnicht die Tage von
> heute bis zum Tag der deutschen Einheit berechnen,weil
> nirgendwo steht,was heute ist(heutiges Datum oder Datum der
> Herausgabe des Blattes),also denke ich, wird das nicht so
> wichtig sein?
> Nehmen wir an,ich weiß,wieviele tage von Tag 0 bis zum
> TddE sind, muss ich dann nicht den Anfangsvektor (0 1) *
> [mm]P^{Anzahl der Tage}[/mm]
> rechnen? Dann kriege ich eine Matrix
> raus und wo lese ich dort dann die Wkeit ab?
>
> Hoffe es kann mir wer helfen. VG!
Na ja, es gehört zu einer vollständigen Aufgabenstellung dazu, das ein Tag angegeben ist. Aber ist das so wichtig? Nimm irgendeinen Tag, sage dazu welchen und dann rechne, es geht ja nur darum, für n irgendeine Zahl einzusetzen. 
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:17 Mi 27.06.2012 | | Autor: | dimi727 |
Danke für die Antwort.
Das mit der Induktion muss ich gleich noch probieren...sieht auf den ersten Blick sehr komplex aus.
Zu den Grenzwerten : in der Aufgabenstellung steht,dass p01,p10 [mm] \in [/mm] [0,1] ... dh beide können doch die Extremwerte 0 und 1 (gleichzeitig?) annehmen..? Wenn dem so ist, wie verhält sich jetzt der limis,wenn beide 1 sind und wir [mm] (-1)^{n} [/mm] kriegen? Fallunterscheidung oder existiert der limes in diesem fall nicht,da nicht konvergent?
Und zu ii):
Jop, hab jetzt einfach ausgabe des Blattes genommen, sind dann zb 105 Tage bis zum TddE... dies setze ich in [mm] P^{n} [/mm] ein und fasse beide matrizen zu einer zusammen. An diesem Punkt fehlt mir aber ein Algorithmus, bei dem ich sagne kann, ich bin richtig.... wie rechne ich jetzt mit der entstandenen Matrix?
Und zum Osterwochenende, muss ich dann enfach die 4 werte für FR,SA,SO und MO in [mm] P^{n} [/mm] einsetze und die entstandenen Matrizen addieren, multiplizieren oder wie läuft das?
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Hallo,
wenn da wirklich [mm] p_i\in[0;1] [/mm] steht, dann gibt es eben für den Fall [mm] p_{01}=p_{10}=1 [/mm] keinen Grenzwert. Was für diesen Fall passiert, kann man sich denken, wenn man sich die Bedeutung der Wahrscheinlichkeiten klar macht. Ein altes Sprichwort sagt ja: auf Regen folgt Sonnenschein...
Für [mm] p_{01}=p_{10}=0 [/mm] ist die Sache noch einfacher, hier gibt es einen Grenzwert, den man einfach durch Einsetzen in P erhält. Was bedeutet er?
> Jop, hab jetzt einfach ausgabe des Blattes genommen, sind
> dann zb 105 Tage bis zum TddE... dies setze ich in [mm]P^{n}[/mm]
> ein und fasse beide matrizen zu einer zusammen. An diesem
> Punkt fehlt mir aber ein Algorithmus, bei dem ich sagne
> kann, ich bin richtig.... wie rechne ich jetzt mit der
> entstandenen Matrix?
Nun, ich denke das ist so gedacht dass ein Anfangsvektor für schönes Wetter [mm] X_0=(1,0)^T, [/mm] einer für schlechtes Wetter [mm] X_0=(0,1)^T [/mm] lautet. Die gewünschte Wahrscheinlichkeit bekommt man dann mit
[mm] X_n=P^n*X_0
[/mm]
> Und zum Osterwochenende, muss ich dann enfach die 4 werte
> für FR,SA,SO und MO in [mm]P^{n}[/mm] einsetze und die entstandenen
> Matrizen addieren, multiplizieren oder wie läuft das?
Es ist die Wahrschheinlichkeit dafür gesucht dass mehrere disjunkte Ereignisse eintreten. Hilft dir das rein multiplikativ auf die Sprünge? 
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:58 Mi 27.06.2012 | | Autor: | dimi727 |
Jup hab jetzt alles so in etwa. Habe einfach dann die Ereignisse einzeln berechnet und multipliziert.
Zum Grenzwert: den fall p01=p10=0 gibt es doch gar nicht, da sonst der Nenner 0 wäre ;)
Vg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:53 Mi 27.06.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> Jup hab jetzt alles so in etwa. Habe einfach dann die
> Ereignisse einzeln berechnet und multipliziert.
Genau, so war mein Tipp gemeint.
> Zum Grenzwert: den fall p01=p10=0 gibt es doch gar nicht,
> da sonst der Nenner 0 wäre ;)
Das kommt darauf an. Wenn man einfach die explizite Darstellung von [mm] P^n [/mm] betrachtet, dann hast du Recht (die ist für diesen Fall gar nicht definiert, daher ja auch meine Rückfragen). Aber darum geht es nicht. Die Übergangsmatrix beschreibt einen stochastischen Prozess, und dieser hätte ja immerhin für die Werte [mm] p_{01}=p_{10}=0 [/mm] stationär sein können. Ist er aber nicht, denn an die Wahrscheinlichkeiten [mm] p_{01}=p_{10} [/mm] muss man (hier in diesem Fall) die zusätzliche Bedingung stellen, dass
ihre Summe gleich 1 ist. Denn die Spaltensummen von Übergangsmatrizen müssen ja schon aus sachlogischen Gründen ngleich 1 (=100%) sein. Insofern stellt sich die vorgelegte Aufgabe letztendlich als etwas verunglückt heraus (weil die Nenner der Vorfaktoren unnötig sind).
Gruß, Diophant
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