Wertebereich / Definitionsbere < Sonstiges < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Bestimmen Sie für folgende Funktionen den größtmöglichen Definitionsbereich sowie den Wertebereich:
a)y= [mm] \bruch{x}{x²+1}
[/mm]
b)y= [mm] \wurzel{x²-1} [/mm]
c)y= ln|x|
d)y= [mm] \bruch{x²}{4x²-16}
[/mm]
|
Hi,
ich weiss nicht wie man die Wertebereich bestimmkt und den Definitionsbereich in der richtigen Schreibweise schreibt.
a) Definitionsbereich: Alle Zahlen außer Null
b) Definitionsbereich: Alle Zahlen außer Null
c) Definitionsbereich: Alle Zahlen außer 1 und -1 (und 0?)
d) Definitionsbereich: Alle Zahlen außer 2 und -2 und 0
|
|
| |
|
Hallo
> Bestimmen Sie für folgende Funktionen den größtmöglichen
> Definitionsbereich sowie den Wertebereich:
>
> a)y= [mm]\bruch{x}{x²+1}[/mm]
> b)y= [mm]\wurzel{x²-1}[/mm]
> c)y= ln|x|
> d)y= [mm]\bruch{x²}{4x²-16}[/mm]
>
> Hi,
>
> ich weiss nicht wie man die Wertebereich bestimmkt und den
> Definitionsbereich in der richtigen Schreibweise schreibt.
>
> a) Definitionsbereich: Alle Zahlen außer Null
Falsch. Der Nenner darf nicht 0 werden
x²+1 [mm] \not= [/mm] 0
> b) Definitionsbereich: Alle Zahlen außer Null
Falsch. Die Zahlen unter der Wurzel müssen [mm] \ge [/mm] 0 sein
-->
x²-1 [mm] \ge [/mm] 0
> c) Definitionsbereich: Alle Zahlen außer 1 und -1 (und
> 0?)
Falsch, der Numerus beim ln muss >0 sein
-->
|x|>0
> d) Definitionsbereich: Alle Zahlen außer 2 und -2 und 0
Nicht ganz.
4x²-16 [mm] \not= [/mm] 0
Der Wertebereich einer Funktion f(x) ist der Definitionsbereich der Umkehrfunktion von f(x)
Du musst also erst die Umkehrfunktion ausrechnen und dann den Definitionsbereich der Umkehrfunktion berechnen.
Gruß
Reinhold
|
|
|
| |
|
Danke! Aber geht das nicht auch ohne Umkehrfunktion, falls nicht, wie geht so eine Umkehrfunktion?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:51 So 19.08.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Maraike!
Die Umkehrfunktion erhältst Du, indem du die genannten Funktion nach $x \ = \ ...$ umstellst (und anschließend die Variablennamen $x_$ und $y_$ vertauschst).
Es geht aber auch ohne Umkehrfunktion, indem Du Dir z.B. mit Hilfe einer Kurvendiskussion über die Menge aller y-Werte (= Wertebereich) veranschaulichst. Dazu gehört dann auch eine (Grenzwert-)Betrachtung an den Rändern des Definitionsbereiches bzw. für [mm] $\x\rightarrow\pm\infty$ [/mm] .
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
Ich finde das ehrlich gesagt sehr schwer, bei a und b habe ich eine Umkehrfunktion ermitteln können, bei c weiss ich nicht, wie man es dort macht und bei d bin ich bei y*(4x²-16)=x² und weiß nicht wie es dort weitergeht.
a) f(x)^(-1)= x(y²+1)
b) f(x)^(-1)= [mm] \wurzel{x²+1}
[/mm]
|
|
|
| |
|
> Ich finde das ehrlich gesagt sehr schwer, bei a und b habe
> ich eine Umkehrfunktion ermitteln können, bei c weiss ich
> nicht, wie man es dort macht und bei d bin ich bei
> [mm] $y*\left(4x^2-16\right)=x^2$ [/mm] und weiß nicht wie es dort weitergeht.
>
Hi,
> a) [mm] $f^{-1}\left(x\right)=x\left(y^2+1\right)$
[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") . Das $y$ hat da nichts mehr zu suchen. Wie du ja weißt, kann eine Funktion nur im bijektiven Bereich umgekehrt werden. Die "komplette" Umkehrfunktion setzt sich also aus zwei Teilfunktionen zusammen, nämlich aus den beiden Lösungen [mm] $x_{1}$ [/mm] und [mm] $x_{2}$ [/mm] der Gleichung [mm] $y=\bruch{x}{x^2+1}$.
[/mm]
[mm] $$y=\bruch{x}{x^2+1}\quad\gdw\quad y*\left(x^2+1\right)=x\quad\gdw\quad x^2y+y=x\quad\gdw\quad yx^2-x+y=0$$
[/mm]
Das jetzt mit der  p-q-Formel lösen ($y$ hier als Formvariable betrachten).
> b) [mm] $f^{-1}\left(x\right)=\wurzel{x^2+1}$
[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") , mit dem Vorbehalt, dass hier aber auch wieder zwei Lösungen vorliegen, was aber hier keine Rolle spielt.
Bei c) musst du folgendes Wissen haben: Die Umkehrfunktion der natürlichen Logarithmusfunktion ist [mm] $e^x$. [/mm] Hier musst du also eine Fallunterscheidung vollziehen, da ja bei der gegebenen Funktion auch negative Werte (wegen des Betrags) erlaubt sind.
für [mm] $y<0:\,\,f^{-1}\left(x\right)=-e^x\quad$, [/mm] für [mm] $y>0:\,\,f^{-1}\left(x\right)=e^x$
[/mm]
Zu d): Ansatz korrekt, jetzt ausmultiplizieren und wieder p-q-Formel.
Grüße, Stefan.
|
|
|
| |
|
Was soll ich jetzt genau mit dem y bei a) machen?
yx²-x+y
p=-1
q= y
und bei d)
4yx²-16x=y²
[mm] \wurzel{4yx²-16x} [/mm] = y
PQ-Formel bei d?
|
|
|
| |
|
Hallo
Ich würde bei a) etwas anders rangehen.
Untersuchung der Monotonie ergibt:
monoton fallend für x=]-unendlich;-1]
monoton steigend für x=[-1;1]
monoton fallend für x=[1;unendlich[
außerdem liegt eine lineare Asymptote mit der Gleichung y=0 vor.
Nun müssen wir nur f(1) und f(-1) berechnen, um auf globalen Minima und Maxima und somit auch auf den Wertebereich, zu schließen.
Zur Kontrolle: W(f)=[-0.5;0.5]
bei d) musst du keine pq-Formel anwenden.
Ausmultiplizieren ergibt:
4xy²-16x=y²
Nun Forme ein wenig um, und klammere y² aus.
Zur Kontrolle:
W(f)=R\ ]0;1/2]
Gruß
Reinhold
|
|
|
| |
|
Sind das die Endergebnisse oder wie schreibt man so etwas auf?
|
|
|
| |
|
Hallo
bezogen auf Nr. 1 muß gelten: [mm] x^{2}+1\not=0 [/mm] also [mm] x^{2}\not=-1
[/mm]
Du erkennst, es gibt keine reelle Zahl, deren Quadrat -1 ist, somit kannst Du für den Definitionsbereich alle reellen Zahlen einsetzen [mm] D=\IR
[/mm]
wird z. B. die Zahl 4 im Definitionsbereich ausgeschlossen [mm] D=\IR [/mm] \ [mm] \{4\}
[/mm]
Bevor du D aufschreiben kannst, löse die Gleichungen aus dem Post von vagnerlove
Steffi
|
|
|
| |
|
Danke, wäre das bei b)
$ [mm] D=\IR [/mm] $ \ $ [mm] \{-1,1\} [/mm] $ oder kommt die 0 noch mit hinzu?
|
|
|
| |
|
Hallo
Das stimmt leider nicht.
x²[mm] \ge [/mm] 1 [mm] \gdw [/mm] |x| [mm] \ge [/mm] 1
Was folgt daraus?
Die 0 darf jedenfalls nicht zu D gehören.
Gruß
Reinhold
|
|
|
|
