Werte von ln < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Geben Sie alle Werte von ln(-1) an. Welcher Wert hat ungefähr den Betrag 10? |
Hallo,
ich stehe hier gerade voll auf dem Schlauch. Wir haben zwar den Logarithmus mit komplexen Zahlen gemacht aber da haben wir immer ein z=x+jy bekommen.
die Gleichung sollte ja lauten:
[mm] ln(z)=ln(r)+j(\alpha+2k\pi)
[/mm]
Wo soll ich hier ansetzen?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:32 So 21.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Geben Sie alle Werte von ln(-1) an. Welcher Wert hat
> ungefähr den Betrag 10?
> Hallo,
>
> ich stehe hier gerade voll auf dem Schlauch. Wir haben zwar
> den Logarithmus mit komplexen Zahlen gemacht aber da haben
> wir immer ein z=x+jy bekommen.
>
> die Gleichung sollte ja lauten:
>
> [mm]ln(z)=ln(r)+j(\alpha+2k\pi)[/mm]
>
> Wo soll ich hier ansetzen?
denk' erstmal drüber nach: Welches [mm] $\alpha$ [/mm] und welches [mm] $r\,$ [/mm] gehört
denn zur Zahl [mm] $-1\,$?
[/mm]
Gruß,
Marcel
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Hallo,
> Geben Sie alle Werte von ln(-1) an. Welcher Wert hat
> ungefähr den Betrag 10?
> Hallo,
>
> ich stehe hier gerade voll auf dem Schlauch. Wir haben zwar
> den Logarithmus mit komplexen Zahlen gemacht aber da haben
> wir immer ein z=x+jy bekommen.
>
> die Gleichung sollte ja lauten:
>
> [mm]ln(z)=ln(r)+j(\alpha+2k\pi)[/mm]
>
> Wo soll ich hier ansetzen?
Mache dir klar, wie groß ln|r| und [mm] \alpha [/mm] hier sind. Wenn nämlich der Realteil einer komplexen zahl gleich Null ist, dann kann man ihren Betrag recht leicht ermitteln, aber damit bin ich ja schon mit der Tür ins Haus gefallen und habe viel zu viel verraten. 
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 15:48 So 21.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> > Geben Sie alle Werte von ln(-1) an. Welcher Wert hat
> > ungefähr den Betrag 10?
> > Hallo,
> >
> > ich stehe hier gerade voll auf dem Schlauch. Wir haben zwar
> > den Logarithmus mit komplexen Zahlen gemacht aber da haben
> > wir immer ein z=x+jy bekommen.
> >
> > die Gleichung sollte ja lauten:
> >
> > [mm]ln(z)=ln(r)+j(\alpha+2k\pi)[/mm]
> >
> > Wo soll ich hier ansetzen?
>
> Mache dir klar, wie groß ln|r| und [mm]\alpha[/mm] hier sind. Wenn
> nämlich der Realteil einer komplexen zahl gleich Null ist,
> dann kann man ihren Betrag recht leicht ermitteln, aber
Du meintest den Imaginärteil 
P.S.
Geht's eigentlich nur mir so, oder ist das echt so 'ne kleine Krankheit:
Man hört "komplexe Zahlen" und dann [mm] $-1\,$ [/mm] und assoziert sofort: "Oh,
da geht's um die komplexe Einheit [mm] $i\,$ [/mm] (oder in Physikerkreisen [mm] $j\,$)." [/mm]
Hier ist aber nur [mm] $z\,$ [/mm] mit [mm] $z=-1\,$ [/mm] die echt reelle Zahl gemeint - und nicht
ein [mm] $z\,$ [/mm] mit [mm] $z^2=-1\,.$ [/mm] (Wovon es ja auch zwei gibt!)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler | | Datum: | 21:04 So 21.10.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo Marcel,
entschuldige zunächst, dass ich nicht zitieren kann. Ich schreibe das vom Handy aus, da klappt das komischerweise nicht.
Ich meinte aber tatsächlich den Realteil: sämtliche Werte von ln(-1) sind imaginär wegen ln(1)=0, und es geht ja um die Beträge dieser Werte.
Nichtsdestotrotz: danke fürs Aufpassen.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 21:18 So 21.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Diophant,
> Hallo Marcel,
>
> entschuldige zunächst, dass ich nicht zitieren kann. Ich
> schreibe das vom Handy aus, da klappt das komischerweise
> nicht.
>
> Ich meinte aber tatsächlich den Realteil: sämtliche Werte
> von ln(-1) sind imaginär wegen ln(1)=0, und es geht ja um
> die Beträge dieser Werte.
ach, okay, ich dachte es Du meintest den Betrag von [mm] $-1\,.$ [/mm] Okay!
> Nichtsdestotrotz: danke fürs Aufpassen.
Dann nicht's für ungut für den "falschen" Korrekturhinweis - der daraus
resultierte, dass ich Dich missverstanden hatte!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:42 So 21.10.2012 | | Autor: | Richie1401 |
Hi,
> Geben Sie alle Werte von ln(-1) an. Welcher Wert hat
> ungefähr den Betrag 10?
> Hallo,
>
> ich stehe hier gerade voll auf dem Schlauch. Wir haben zwar
> den Logarithmus mit komplexen Zahlen gemacht aber da haben
> wir immer ein z=x+jy bekommen.
Hast du hier auch bekommen, es ist ja: -1=z=-1+0*i
>
> die Gleichung sollte ja lauten:
>
> [mm]ln(z)=ln(r)+j(\alpha+2k\pi)[/mm]
>
> Wo soll ich hier ansetzen?
>
>
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Im Nachhinein ist immer alles so schlüssig. Da muss ich wohl noch ein bisschen üben.
ln(-1) ist also die Form ln(z), damit ist z=-1
-1 ist der Realteil, d.h. der Imaginärteil muss 0 sein:
z=-1+j0
Ich habe jetzt der Routine wegen ganz normal damit gerechnet:
[mm] \alpha=arctan (\bruch{0}{-1})+\pi
[/mm]
[mm] \alpha=\pi
[/mm]
[mm] r=\wurzel{(-1)^{2}+0^{2}}=1
[/mm]
[mm] z=1(cos\pi+j*sin\pi)=e^{j(\pi+k2\pi)}
[/mm]
[mm] ln(z)=ln1+j(\pi+k2\pi)
[/mm]
[mm] ln(z)=j*(\pi+k2\pi)
[/mm]
Hauptwert:
[mm] Ln(z)=j*\pi
[/mm]
Ist das bis jetzt richtig? Was heißt hier alle Werte? Es gibt doch unendlich viele Werte!?
Nun ist ein Wert gesucht der ungefähr den Betrag 10 hat. Setze ich jetzt für r=10 ein?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:34 So 21.10.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
ja, alle Werte sind rein imaginär und liegen um [mm] 2 \pi [/mm] auseinander.
Für den zweiten Aufgabenteil musst Du nun berücksichtigen, dass der betrag der komplexen Lösung einen Wert von ungefähr 10 haben soll.
Viele Grüße,
Infinit
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Ok, das ist verständlich.
Ich verstehe aber nicht den Schritt den unsere Dozentin gegangen ist:
[mm] ln(z)=j*(\pi+k2\pi)
[/mm]
ln(z)=w
[mm] |w|^{2}=(\pi+k2\pi)^{2}
[/mm]
dann folgt die pq-Formel, ergibt:
[mm] =k^{2}+k+0,25
[/mm]
[mm] k_{1,2}=-0,5
[/mm]
daraus folgt: k=0, k=-1 (wahrscheinlich einmal auf- und einmal abgerundet)
für k=0:
[mm] w=j(\pi+0*2*\pi)
[/mm]
[mm] |w|=\pi
[/mm]
für k=-1:
[mm] w=j(\pi+(-1)*2*\pi)
[/mm]
[mm] |w|=\pi
[/mm]
Was soll das ganze? Ich kann es nicht nachvollziehen und probiere lieber für k passende Werte durch, meinetwegen von k=0 bis k=3.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:20 So 21.10.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo Andi,
gehen wir mal von der gewünschten 10 aus als Betrag, dann steht doch da
[mm] 100 = \pi^2 + 4 \pi^2 k^2 + 4 k \pi^2 [/mm]
Jetzt kommt das "ungefähr" ins Spiel. Setze mal
[mm] \pi^2 = 10 [/mm], was man gerne in der Physik zur Überschlagsrechnung macht, dann kommst Du auf
[mm] 40k^2 + 40k - 90 = 0[/mm]
oder auch
[mm] k^2 + k - \bruch{90}{40} = 0 [/mm]
So kommt man zu einer quadratischen Gleichung, deren absoluter Term aber nicht dem entspricht, was Du angegeben hast.
Viele Grüße,
Infinit
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Warum darf man einfach [mm] \pi^{2}=10 [/mm] setzen?
Danke und Gruß,
Andreas
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:22 So 21.10.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
das stand doch da, weil du 10 nicht genau erreichen willst und [mm] \pi<2 [/mm] ungefähr 10 ist.
Tipfehler verbessert: natürlich [mm] \pi^2 [/mm] ungefähr 10
du kannst aber auch die Gl mit [mm] \pi [/mm] lösen.
dann noch was der Betrag einer rein imaginären Zahl ist der Imaginrteil, eure Doyentin hat das nur sehr umständlich gezeigt
Gruss leduart
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler | | Datum: | 19:38 So 21.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Leduart,
> Hallo
> das stand doch da, weil du 10 nicht genau erreichen willst
> und [mm]\red{\pi\;<\;2}[/mm] ungefähr 10 ist.
[mm] $\pi=3.1... [/mm] < 2$?
Gruß,
Marcel
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