Wert ist Binomialkoeffizient < Kombinatorik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:14 Mo 24.03.2008 | | Autor: | Spratz |
| Aufgabe | | Zeigen Sie bitte, dass der Wert [mm] \vektor{n \\ k-1}+2*\vektor{n \\ k}+\vektor{n \\ k+1} [/mm] ein Binomialkoeffizient ist. |
In der letzten Prüfung, durch die ich durchgefallen bin, wurde unter anderem diese Aufgabe gestellt. Allerdings habe ich absolut keine Idee, wie ich Aufgaben dieser Art lösen soll. Über eine Musterlösung zu dieser oder einer ähnlichen Aufgabe wäre ich sehr dankbar!
Lg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> Zeigen Sie bitte, dass der Wert [mm]\vektor{n \\ k-1}+2*\vektor{n \\ k}+\vektor{n \\ k+1}[/mm]
> ein Binomialkoeffizient ist.
> In der letzten Prüfung, durch die ich durchgefallen bin,
> wurde unter anderem diese Aufgabe gestellt. Allerdings habe
> ich absolut keine Idee, wie ich Aufgaben dieser Art lösen
> soll. Über eine Musterlösung zu dieser oder einer ähnlichen
> Aufgabe wäre ich sehr dankbar!
Eine ähnliche Eigenschaft der Binomialkoeffizienten, die man kennen sollte, ist folgende
[mm]\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}[/mm]
Nun versuche die gegebene Summe so zu zerlegen, dass Du die obige Beziehung zur Vereinfachung wiederholt anwenden kannst:
[mm]\begin{array}{lcl}
\displaystyle\binom{n}{k-1}+2\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1} &=& \displaystyle\blue{\binom{n}{k-1}+\binom{n}{k}}+\green{\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}}\\[.2cm]
&=& \displaystyle\blue{\binom{n+1}{k}}+\green{\binom{n+1}{k+1}}\\[.2cm]
&=& \displaystyle\binom{n+2}{k+1}
\end{array}[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:38 Mo 24.03.2008 | | Autor: | abakus |
> > Zeigen Sie bitte, dass der Wert [mm]\vektor{n \\ k-1}+2*\vektor{n \\ k}+\vektor{n \\ k+1}[/mm]
> > ein Binomialkoeffizient ist.
> > In der letzten Prüfung, durch die ich durchgefallen
> bin,
> > wurde unter anderem diese Aufgabe gestellt. Allerdings habe
> > ich absolut keine Idee, wie ich Aufgaben dieser Art lösen
> > soll. Über eine Musterlösung zu dieser oder einer ähnlichen
> > Aufgabe wäre ich sehr dankbar!
>
> Eine ähnliche Eigenschaft der Binomialkoeffizienten, die
> man kennen sollte, ist folgende
>
> [mm]\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}[/mm]
Dahinter steckt die (hoffentlich bekannte) Tatsache, dass im Pascalschen Dreieck die Summe zweier benachbarter Zahlen gleich der darunterstehenden Zahl ist.
Viele Grüße
Abakus
>
> Nun versuche die gegebene Summe so zu zerlegen, dass Du die
> obige Beziehung zur Vereinfachung wiederholt anwenden
> kannst:
>
> [mm]\begin{array}{lcl}
\displaystyle\binom{n}{k-1}+2\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1} &=& \displaystyle\blue{\binom{n}{k-1}+\binom{n}{k}}+\green{\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}}\\[.2cm]
&=& \displaystyle\blue{\binom{n+1}{k}}+\green{\binom{n+1}{k+1}}\\[.2cm]
&=& \displaystyle\binom{n+2}{k+1}
\end{array}[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:44 Mo 24.03.2008 | | Autor: | Somebody |
> > > Zeigen Sie bitte, dass der Wert [mm]\vektor{n \\ k-1}+2*\vektor{n \\ k}+\vektor{n \\ k+1}[/mm]
> > > ein Binomialkoeffizient ist.
> > > In der letzten Prüfung, durch die ich durchgefallen
> > bin,
> > > wurde unter anderem diese Aufgabe gestellt. Allerdings habe
> > > ich absolut keine Idee, wie ich Aufgaben dieser Art lösen
> > > soll. Über eine Musterlösung zu dieser oder einer ähnlichen
> > > Aufgabe wäre ich sehr dankbar!
> >
> > Eine ähnliche Eigenschaft der Binomialkoeffizienten, die
> > man kennen sollte, ist folgende
> >
> > [mm]\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}[/mm]
>
> Dahinter steckt die (hoffentlich bekannte) Tatsache, dass
> im Pascalschen Dreieck die Summe zweier benachbarter Zahlen
> gleich der darunterstehenden Zahl ist.
... und ein einfaches kombinatorisches Argument: denn [mm] $\binom{n}{k}$ [/mm] soll ja die Anzahl der $k$-elementigen Teilmengen einer $n$-elementigen Menge sein. Sei also [mm] $n\geq k\geq [/mm] 1$. Dann zeichen wir eines der $n$ Elemente aus und zählen die Anzahl verschiedener $k$-elementiger Teilmengen in zwei Schritten: es gibt [mm] $\binom{n-1}{k-1}$ [/mm] solche Teilmengen, die das ausgezeichnete Element enthalten, und zudem noch [mm] $\binom{n-1}{k}$ [/mm] Teilmengen, die es nicht enthalten: ergibt, zusammengezählt, die rechte Seite der behaupteten Beziehung.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:44 Mo 24.03.2008 | | Autor: | Spratz |
Super, danke!
Die Beziehung war mir bekannt, ja.
Allerdings nicht wie man sie auf Terme mit anderem n oder k anwendet.
Lg
|
|
|
|
