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| Aufgabe | Man berechne den Wert der folgenden Reihe
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^k*5}{3^k^+^1} [/mm] |
Hallo,
habe meine Probleme mit obiger Aufgabenstellung. In der Vorlesung hatten wir zu ähnlichen Aufgaben immer das Quotientenkriterium benutzt. Aber mit jenem bekommt man doch lediglich die Konvergenz / Divergenz einer Reihe raus. (und deren Grenzwert?!)
Also meine Lösung für obige Aufgabe wäre folgende:
[mm] \bruch{\bruch{(-1)^k^+^1*5}{3^k^+^2}}{\bruch{(-1)^k*5}{3^k^+^1}}
[/mm]
nach dem Kürzen steht dann da ja;
[mm] -\bruch{1}{3}
[/mm]
Aber damit zeige ich ja nur, dass die Reihe konvergent, weil <1 ist.
Danke schonmal!
Grüße,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:57 Do 11.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo moattiliatta!
Man muss hier etwas umformen, um die Formel für die geometrsiche Reihe anwenden zu können:
[mm] $$\summe_{k=0}^{\infty}q^k [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{1-q} [/mm] \ \ \ [mm] \text{für} [/mm] \ \ \ |q| \ < \ 1$$
[mm] $$\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^k*5}{3^{k+1}} [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^k*5}{3^k*3^1} [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\left[\bruch{5}{3}*\bruch{(-1)^k}{3^k}\right] [/mm] \ = \ [mm] \bruch{5}{3}*\summe_{k=0}^{\infty}\left(-\bruch{1}{3}\right)^k [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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| Aufgabe 1 | 2)
[mm] \summe_{k=3}^{\infty} \bruch{3^2^k^-^2*5^-^k^+^1}{2^k^-^2} [/mm] |
| Aufgabe 2 | 3)
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} (-1)^k [/mm] * [mm] x^2^k [/mm] |
Hallo,
vielen Dank erstmal an Loddar!
Habe jetzt für die erste Reihe das Ergebnis -5 herausbekommen. Müsste ja stimmen.
In den 2 weiteren Teilaufgaben verstehe ich leider absolut nicht, wie ich sie umformen soll. (s.o.) Gibt es da auch wieder eine "einfache" Möglichkeit der Umformung? Bei Aufg.3 verwirrt mich das x ein wenig.
Vielen Dank!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:01 Do 11.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo moattiliatta!
Auch hier siehen die Umformungen sehr ähnlich aus:
[mm] $$\bruch{3^{2k-2}*5^{-k+1}}{2^{k-2}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3^{2k}*3^{-2}*5^{-k}*5^1}{2^k*2^{-2}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3^{-2}*5}{2^{-2}}*\bruch{9^k*5^{-k}}{2^k} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2^{2}*5}{3^{2}}*\bruch{9^k}{5^k*2^k} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{20}{9}*\left(\bruch{9}{5*2}\right)^k [/mm] \ = \ ...$$
Bei der Anwendung der Formel aufpassen, wo diese Reihe startet ...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:04 Do 11.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo moattiliatta!
Hier ist die Umformung ganz schnell:
[mm] $$(-1)^k*x^{2k} [/mm] \ = \ [mm] (-1)^k*\left(x^2\right)^k [/mm] \ = \ [mm] \left(-x^2\right)^k$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Vielen Dank Loddar, hast mir sehr geholfen.
Schönen Abend noch...
moatt
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