Wert der Reihe berechnen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:43 Mo 17.06.2013 | | Autor: | haner |
| Aufgabe | | [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{4}{\pi (2i-1)^2} [/mm] |
Hallo,
wie berechnet man den Wert dieser Reihe?
MfG haner
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Hallo Haner,
ich nehme an der Wert von [mm] $\sum_{i=1}^\infty \frac{1}{i^2}$ [/mm] ist bekannt?
Ziehe alle möglichen Faktoren in deiner Summe vor die Summe und überlege dir was die entstehende Summe mit der obigen zu tun hat.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:48 Di 18.06.2013 | | Autor: | haner |
Ok,
also ich habe jetzt mal was vorgezogen:
Das ganze sieht jetzt so bei mir aus:
[mm] \bruch{4}{\pi}\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{4i^2-4i+1}
[/mm]
Aber leider hilft mir das nichts???
MfG haner
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Hallo,
> Ok,
> also ich habe jetzt mal was vorgezogen:
> Das ganze sieht jetzt so bei mir aus:
>
> [mm]\bruch{4}{\pi}\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{4i^2-4i+1}[/mm]
>
> Aber leider hilft mir das nichts???
Das Ausmultiplizieren des Nenners hättest du dir sparen können. Anstatt dessen wäre es sicherlich hilfreich gewesen, du hättest dir einmal einige Reihenglieder aufgeschrieben.
Mache dir klar: die Reihe besteht jetzt genau aus denjenigen Stammbrüchen, deren Nenner die ungeraden Quadratzahlen durchlaufen. Zusammen mit sämtlichen geraden quadratischen Stammbrüchen hättest du eine Reihe mit bekanntem Grenzwert:
[mm] \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{(2i-1)^2}+\sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{(2i)^2}=\sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i^2}= \frac{\pi^2}{6} [/mm]
Und jetzt musst du dir noch klarmachen, welcher Zusammenhang zwischen
[mm] \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{(2i)^2}
[/mm]
und
[mm] \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i^2}
[/mm]
besteht. Da hilft es ebenfalls, einen Faktor herauszuziehen...
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:28 Di 18.06.2013 | | Autor: | haner |
Ok, jetztkann ich das Ganze schon besser nachvollziehen.
Nur könnt Ihr mir bitte einmal erklären, warum
[mm] \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i^2}= \frac{\pi^2}{6} [/mm] ist?
Das mit den geraden und ungeraden Quadratzahlen habe ich verstanden.
Und jetzt musst du dir noch klarmachen, welcher Zusammenhang zwischen
$ [mm] \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{(2i)^2} [/mm] $
und
$ [mm] \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i^2} [/mm] $
besteht. Da hilft es ebenfalls, einen Faktor herauszuziehen...
Aber was kann man denn hier rausziehen?
MfG haner
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:37 Di 18.06.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Dazu findest du unter folgendem Link sehr schöne Beweise:
twoplusonet.wordpress.com/2011/06/24/an-elegant-result/
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:44 Di 18.06.2013 | | Autor: | haner |
Ok, danke für den Link.
Aber nun zu dem Zusammenhang, den ich mir klar machen muss:
[mm] \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i^2} [/mm] - [mm] \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{(2i)^2} [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i^2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{4} \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i^2}
[/mm]
Da würde doch dann [mm] \bruch{\pi^2}{8} [/mm] rauskommen. Stimmt das?
MfG haner
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:46 Di 18.06.2013 | | Autor: | fred97 |
> Ok, danke für den Link.
> Aber nun zu dem Zusammenhang, den ich mir klar machen
> muss:
>
> [mm]\sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i^2}[/mm] - [mm]\sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{(2i)^2}[/mm]
> = [mm]\sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i^2}[/mm] - [mm]\bruch{1}{4} \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i^2}[/mm]
>
> Da würde doch dann [mm]\bruch{\pi^2}{8}[/mm] rauskommen. Stimmt
> das?
Ja
FRED
>
> MfG haner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:49 Di 18.06.2013 | | Autor: | haner |
Ist dieses [mm] \bruch{\pi^2}{8} [/mm] dann die Lösung auf meine ursprüngliche Aufgabe?
MfG haner
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Hallo,
> Ist dieses [mm]\bruch{\pi^2}{8}[/mm] dann die Lösung auf meine
> ursprüngliche Aufgabe?
Nein. Deine ursprüngliche Reihe hatte ja noch einen Vorfaktor...
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:56 Di 18.06.2013 | | Autor: | haner |
Stimmt, dann kommt also endgültig [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] raus.
MfG haner
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Hallo,
> Stimmt, dann kommt also endgültig [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] raus.
Ja, jetzt stimmt es. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß, Diophant
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