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Wendepunkte und Extrempunkte: Wende- & Extrempunkte bestimme
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:45 So 12.02.2012
Autor: Matritze

Aufgabe
Die 2.Ableitung einer Funktion f ist bekannt.

Was lässt sich über die Wendepunkte und Extrempunkte des Graphen von f aussagen?

f''(x)= -x+1

Den Wendepunkt kann man ja berechnen, indem man die gegebene 2.Ableitung mit null gleichsetzt. Als Wendepunkt bekommt man dann x=1 heraus.

Wie kann man aber nun die Extrempunkte des Graphen nur anhand der 2. Ableitung bestimmen? Oder geht das überhaupt nicht ohne vorher aufzuleiten bzw. zu integrieren?


        
Bezug
Wendepunkte und Extrempunkte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:51 So 12.02.2012
Autor: Diophant

Hallo,

>  Den Wendepunkt kann man ja berechnen, indem man die
> gegebene 2.Ableitung mit null gleichsetzt. Als Wendepunkt
> bekommt man dann x=1 heraus.

das reicht nicht ganz: du musst dazusagen, dass die 2. Ableitung an der Stelle x=1 eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel besitzt.
  

> Wie kann man aber nun die Extrempunkte des Graphen nur
> anhand der 2. Ableitung bestimmen? Oder geht das überhaupt
> nicht ohne vorher aufzuleiten bzw. zu integrieren?

Nun, bedenke: die 2. Ableitung ist die 1. Ableitung der 1. Ableitung. :-)

Was gilt denn so für Extrempunkte und die 1. Ableitung?

Gruß, Diophant  


Bezug
                
Bezug
Wendepunkte und Extrempunkte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:01 So 12.02.2012
Autor: Matritze

Hallo,

danke für die Antwort.

> das reicht nicht ganz: du musst dazusagen, dass die 2.
> Ableitung an der Stelle x=1 eine Nullstelle mit
> Vorzeichenwechsel
besitzt.

Alles klar!
    

> Nun, bedenke: die 2. Ableitung ist die 1. Ableitung der 1.
> Ableitung. :-)
>  
> Was gilt denn so für Extrempunkte und die 1. Ableitung?

Die 1.Ableitung muss null sein.  
f'(x)= 0

Und die 2.Ableitung muss "nur" ungleich null sein.

Gruß,
Matritze


Bezug
                        
Bezug
Wendepunkte und Extrempunkte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:03 So 12.02.2012
Autor: Diophant

Hallo,

> Die 1.Ableitung muss null sein.  
> f'(x)= 0
>  
> Und die 2.Ableitung muss "nur" ungleich null sein.

Und da hier die 1. Ableitung in Wahrheit die 2. ist, folgt sofort was? :-)

Gruß, Diophant

Bezug
                                
Bezug
Wendepunkte und Extrempunkte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:08 So 12.02.2012
Autor: Matritze

Hallo,

> Und da hier die 1. Ableitung in Wahrheit die 2. ist, folgt
> sofort was? :-)

Sorry, aber ich weiß noch nicht genau, was du mit "in Wahrheit" meinst.

Also es die hinreichende Bedingung (2.Ableitung gleich null) kann in diesem Fall ja erfüllt und nicht erfüllt sein, da man nicht weiß, was x (=Nullstelle aus der 1.Ableitung) ist, ohne vorher integriert zu haben.

Gruß,
Matritze

Bezug
                                        
Bezug
Wendepunkte und Extrempunkte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:09 So 12.02.2012
Autor: Diophant

Hi,

lies dir mal die Aufgabe nochmal ganz genau durch. Wer oder was soll denn einen Extremwert annehmen?

Gruß, Diophant

Bezug
                                                
Bezug
Wendepunkte und Extrempunkte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:17 So 12.02.2012
Autor: Matritze

Hallo,

> lies dir mal die Aufgabe nochmal ganz genau durch. Wer oder
> was soll denn einen Extremwert annehmen?

Also ich soll etwas über den Extrempunkt vom Ursprungsgraphen "f" aussagen, sprich die Extrempunkte bestimmen (,nehme ich mal an).

Gruß,
Matritze




Bezug
                                                        
Bezug
Wendepunkte und Extrempunkte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:23 So 12.02.2012
Autor: Diophant

Hallo,

> Also ich soll etwas über den Extrempunkt vom
> Ursprungsgraphen "f" aussagen, sprich die Extrempunkte
> bestimmen (,nehme ich mal an).

ja, sorry. Ich habe mich verlesen.

Prinzipiell kann man aus einer Ableitung nichts über Funktionswerte der zugehörigen Grundfunktion aussagen, un d das ist auch hier nicht anders: eine Aussage über Extremwerte ist nur mit Kenntnis der 2. Ableitung nicht möglich.

Entschuldige bitte nochmals meine Nachlässigkeit.

Gruß, Diophant

Bezug
                                                                
Bezug
Wendepunkte und Extrempunkte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:35 So 12.02.2012
Autor: Matritze

Hallo,

mach dir keinen Kopf draus! Das passiert mal. Ist nicht weiter schlimm! :)

  

> Prinzipiell kann man aus einer Ableitung nichts über
> Funktionswerte der zugehörigen Grundfunktion aussagen, un
> d das ist auch hier nicht anders: eine Aussage über
> Extremwerte ist nur mit Kenntnis der 2. Ableitung nicht
> möglich.

Okay. Dann kann man wirklich nicht weiter fortfahren. Muss es bei der Existenz von Wendestellen auch Hoch- und Tiefpunkte geben? Ja, oder?

Kann es aber theoretisch sein, dass der Wendepunkt auch gleichzeitig ein Sattelpunkt ist? Man weiß ja nicht, ob die 1. Ableitung gleich null ist oder nicht. Dafür würde die Möglichkeit bestehen, dass ein Sattelpunkt vorhanden ist.

Gruß,
Matritze


Bezug
                                                                        
Bezug
Wendepunkte und Extrempunkte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:21 So 12.02.2012
Autor: abakus


> Hallo,
>  
> mach dir keinen Kopf draus! Das passiert mal. Ist nicht
> weiter schlimm! :)
>  
>
> > Prinzipiell kann man aus einer Ableitung nichts über
> > Funktionswerte der zugehörigen Grundfunktion aussagen, un
> > d das ist auch hier nicht anders: eine Aussage über
> > Extremwerte ist nur mit Kenntnis der 2. Ableitung nicht
> > möglich.
>  
> Okay. Dann kann man wirklich nicht weiter fortfahren. Muss
> es bei der Existenz von Wendestellen auch Hoch- und
> Tiefpunkte geben? Ja, oder?
>  
> Kann es aber theoretisch sein, dass der Wendepunkt auch
> gleichzeitig ein Sattelpunkt ist? Man weiß ja nicht, ob
> die 1. Ableitung gleich null ist oder nicht. Dafür würde
> die Möglichkeit bestehen, dass ein Sattelpunkt vorhanden
> ist.
>  
> Gruß,
>  Matritze

Hallo,
wenn die zweite Ableitung -x+1 ist, dann ist die erste Ableitung [mm]-\bruch{x^2}{2}+x+c[/mm]. Ob diese erste Ableitung an zwei Stellen Null ist oder nur an einer Stelle (beim Vorliegen eines Sattelpunktes) oder gar nicht, hängt von c ab. Wie dieses c beschaffen ist, kann man aus der zweiten Ableitung nicht erkennen.
Gruß Abakus


>  


Bezug
                                                                                
Bezug
Wendepunkte und Extrempunkte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:37 So 12.02.2012
Autor: Matritze

Hallo,

stimmt, das macht Sinn!

Vielen Dank für Eure Hilfe!

Gruß,
Matritze

Bezug
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