Wendepunkte < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:47 Di 10.08.2010 | | Autor: | Mathics |
| Aufgabe | Eine Bergetreppe wird beschrieben durch den Graphen der Funktion mit
f(x)= [mm] -0,1x^6 [/mm] + [mm] 0,9x^5-3x^4+4,4x^3-2,4x^2+2 [/mm]
im Intervall, wobei in einem örtlicgen Koordinatensystem in der Einheit km gemessen wird.
a) Bestimmen Sie die Stelle, an der die Steigung dieser Bergetreppe maximal ist. Wie groß ist die?
b)Untersuchen Sie, an welcher Stelle das stärkste Gefälle vorliegt. |
Hallo,
zu Aufgabe a) Hier ist der Wendepunkt gefragt, der gleichzeitig in unserem Fall das Maximum des Graphen der 1. Ableitung ist.
zu Aufgabe b) Hier ist auch der Wendepunkt gefragt, allerdings der Maximum des Graphen der 1. Ableitung (hier bin ich mir nicht sicher !?)
ich habe ein großes Problem bei dieser Aufgabe. Und zwar
ich habe erst mal alle Ableitungen gebildet wie gewohnt:
Ursprung : f(x)= [mm] -0,1x^6 [/mm] + [mm] 0,9x^5-3x^4+4,4x^3-2,4x^2+2
[/mm]
1.Abl. : f‘(x)= [mm] -0,6x^5 [/mm] + [mm] 4,5x^4-12x^3+13,2x^2-4,8x
[/mm]
2.Abl. : f‘‘(x)= [mm] -3x^4 [/mm] + [mm] 18x^3-36x^2+26,4x-4,8
[/mm]
2.Abl. : f‘‘‘(x)= [mm] -12x^3 [/mm] + [mm] 54x^2-72x+26,4x
[/mm]
Ich rechne nun die Wendepunkte aus, die ja gleichzeitig die Maxima des Graphen der 1. Ableitung sind.
Also f‘‘=0
f‘‘‘ ungleich 0
Ich erhalte als x-Werte: x=2 ; x=0,27 ; x=1,17 ; x=2,56
Und als y- Wert für das erste x ebenfalls 2.
Aber beim Graphen der 1. Ableitung handelt es sich doch um einen Graphen 5. Grades, bei dem die Extreme im Unendlichen liegen, da der Graph nach oben und nach unten offen ist.
So komme ich hierbei nicht weiter. Wieso erhalte ich z.B. den Wendepunkt bei 2/2 ????
Ich komme echt nicht weiter.
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Hallo Mathics,
> Eine Bergetreppe wird beschrieben durch den Graphen der
> Funktion mit
> f(x)= [mm]-0,1x^6[/mm] + [mm]0,9x^5-3x^4+4,4x^3-2,4x^2+2[/mm]
> im Intervall, wobei in einem örtlicgen Koordinatensystem
> in der Einheit km gemessen wird.
>
> a) Bestimmen Sie die Stelle, an der die Steigung dieser
> Bergetreppe maximal ist. Wie groß ist die?
>
> b)Untersuchen Sie, an welcher Stelle das stärkste Gefälle
> vorliegt.
> Hallo,
>
> zu Aufgabe a) Hier ist der Wendepunkt gefragt, der
> gleichzeitig in unserem Fall das Maximum des Graphen der 1.
> Ableitung ist.
>
> zu Aufgabe b) Hier ist auch der Wendepunkt gefragt,
> allerdings der Maximum des Graphen der 1. Ableitung (hier
> bin ich mir nicht sicher !?)
>
> ich habe ein großes Problem bei dieser Aufgabe. Und zwar
>
> ich habe erst mal alle Ableitungen gebildet wie gewohnt:
>
> Ursprung : f(x)= [mm]-0,1x^6[/mm] + [mm]0,9x^5-3x^4+4,4x^3-2,4x^2+2[/mm]
> 1.Abl. : f‘(x)= [mm]-0,6x^5[/mm] + [mm]4,5x^4-12x^3+13,2x^2-4,8x[/mm]
> 2.Abl. : f‘‘(x)= [mm]-3x^4[/mm] + [mm]18x^3-36x^2+26,4x-4,8[/mm]
> 2.Abl. : f‘‘‘(x)= [mm]-12x^3[/mm] + [mm]54x^2-72x+26,4x[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Ich rechne nun die Wendepunkte aus, die ja gleichzeitig die
> Maxima des Graphen der 1. Ableitung sind.
> Also f‘‘=0
> f‘‘‘ ungleich 0
> Ich erhalte als x-Werte: x=2 ; x=0,27 ; x=1,17 ; x=2,56
>
> Und als y- Wert für das erste x ebenfalls 2.
> Aber beim Graphen der 1. Ableitung handelt es sich doch um
> einen Graphen 5. Grades, bei dem die Extreme im Unendlichen
> liegen, da der Graph nach oben und nach unten offen ist.
> So komme ich hierbei nicht weiter. Wieso erhalte ich z.B.
> den Wendepunkt bei 2/2 ????
Nun, 2 ist eine Lösung der Gleichung [mm]f''\left(x\right)=0[/mm].
> Ich komme echt nicht weiter.
Global gesehen hast Du recht, hier sind
wohl aber die lokalen Extrema gesucht.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:52 Di 10.08.2010 | | Autor: | Mathics |
"Global gesehen hast Du recht, hier sind
wohl aber die lokalen Extrema gesucht"
Und wie berechne ich diese nun?
Einfach den y-Wert berechnen.
D.h. 2/2 ist richtig? und nun die anderen x-Werte : x=0,27 ; x=1,17 ; x=2,56 ind die Ursprungsgleichung eingeben und y- berechnen?
Ist mit b) nun die Minima in dem Graphen der 2. Ableitung gefragt???
Danke.
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Hallo Mathics,
> "Global gesehen hast Du recht, hier sind
> wohl aber die lokalen Extrema gesucht"
>
> Und wie berechne ich diese nun?
> Einfach den y-Wert berechnen.
> D.h. 2/2 ist richtig? und nun die anderen x-Werte : x=0,27
> ; x=1,17 ; x=2,56 ind die Ursprungsgleichung eingeben und
> y- berechnen?
>
Setze die Werte in f'(x) ein, und stelle den größten/kleinsten Wert fest.
>
> Ist mit b) nun die Minima in dem Graphen der 2. Ableitung
> gefragt???
>
Es sind hier die Minima der 1. Ableitung gefragt.
>
> Danke.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:48 Di 10.08.2010 | | Autor: | Mathics |
Okay.
Ich habe nun die Koordinaten (2|0) ; (0,27|-8,87) ; (1,17|0,35) ; (2,56|0,2)
Somit wäre der größte Maximum bei (1,17|0,35) und der kleinste bei (0,27|-8,87). Das wäre dann doch die Lösung für a) oder?
Und für b) ist doch nur (0,27|-8,87) die Lösung oder?
Und noch eine kurze Frage: Kann ich trozalldem sagen: Da es sich beim Graphen der 1.Ableitung um einen Graphen 5. Grades handelt, dieser nach unten und oben ins Unendliche geöffnet ist, liegen die Extrema im Unendlichen !?
Herzliche Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:58 Di 10.08.2010 | | Autor: | abakus |
> Okay.
>
> Ich habe nun die Koordinaten (2|0) ; (0,27|-8,87) ;
> (1,17|0,35) ; (2,56|0,2)
>
> Somit wäre der größte Maximum bei (1,17|0,35) und der
> kleinste bei (0,27|-8,87). Das wäre dann doch die Lösung
> für a) oder?
>
> Und für b) ist doch nur (0,27|-8,87) die Lösung oder?
>
>
> Und noch eine kurze Frage: Kann ich trozalldem sagen: Da es
> sich beim Graphen der 1.Ableitung um einen Graphen 5.
> Grades handelt, dieser nach unten und oben ins Unendliche
> geöffnet ist, liegen die Extrema im Unendlichen !?
Hallo,
eine "echte" Radrennetappe beginnt und endet irgendwo (keinesfalls im Unendlichen). Du schriebst in der Aufgabenstellung nur: "im Intervall".
In WELCHEM Intervall lässt sich die Etappe durch deine Funktion beschreiben?
Gruß Abakus
>
>
> Herzliche Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:11 Di 10.08.2010 | | Autor: | Mathics |
Upss das habe ich vergessen zu schreiben.
Als Intervalle sind einmal 0 und einmal 2,5 gegeben. Was muss ich den nun damit anfangen??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:27 Di 10.08.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
mit 0 und 2.5 ist doch wohl nur EIN Intevall gemeint. d.h. die Extremwerte der steigung, die ausserhalb liegen, - und damit deine [mm] \infty-, [/mm] sind uninteressant. Es ist ja nicht von ner allgemeinen fkt die Rede, sondern nur von einer "Bergetreppe" die sicher nicht bis ins unendlich reicht.
(d.h. du musst immer auf den Kontext der aufgabe achten, und nicht blindlings die ganze fkt. untersuchen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:35 Di 10.08.2010 | | Autor: | Mathics |
Entschuldige bitte. Du hast natürlich vollkommen Recht, war mein Fehler.
Meint man aber jetzt mit Intervall 0 und 2,5 die ABgrenzung auf der x-Achse? Ja oder?
Also wenn, nur ein Beispiel, wir x=2,2 und y=35 hätten, würde es noch in dem Intervall liegen oder?
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Richtig, das Intervall gibt die Zulässigen Werte für die Argumente der Funktion an, also x. Für y würde das keinen Sinn machen, kenne ich auch gar nicht, gibts aber bestimmt auch irgendwo ^^
Wann immer jedenfalls von einem Intervall die Rede ist, werden damit die Einschränkungen für x gemeint und daher brauchst du nur Extrema beachten, die mit ihrem x-Wert innerhalb von I liegen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:55 Di 10.08.2010 | | Autor: | Mathics |
So habe ich dann raus
für a) die maximale positive Steigung ist an der Stelle (1,17|0,35). (Hochpunkt)
bei b) ist doch nach der maximalen negativen Steigung also Tiefpunkt gefragt. Und das wäre: (0,27|-8,87)
ist das so richtig?
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Also wenn ich die NST deiner ersten Ableitung mit Polynomdivision berechne, komme ich auf andere Extrema, da komme ich auf [mm] x_1=0, x_{2/3}=2 [/mm] und [mm] x_3=0,71922 [/mm] und [mm] x_4=1,7808
[/mm]
Tja Aufgabenstellung gründlich lesen, die Steigung ist natürlich an den Extrema von f(x) nicht maximal, sondern an den WP, angelika hat deine Werte ja bestätigt, sorry
Also hier nochmal amtlich: Deine Werte sind korrekt ;), allerdings solltest du im ersten Post nochmal die Intervallgrenzen angeben, die finde ich nämlich nicht, es gibt ja 4 WPs
Sofern deine zweiten Koordinaten aber y-Werte sein sollen, sind sie falsch! ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") , die lauten nämlich offenbar 1,8~
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> Also wenn ich deine erste Ableitung mit Polynomdivision
> runterbreche,
Hallo,
weiß der Geier, was Du damit meinst...
Vermutlich bestimmst Du die Nullstellen der 1. Ableitung. Sofern mein Plot nicht lügt, gibt es allerdings derer bloß 3.
Beachte aber insbesondere die Aufgabenstellung: gesucht werden nicht die Extrema der Funktion f, sondern die Stellen stärkster Steigung bzw. stärksten Gefälles.
Man interessiert sich also für die Extrema von f' im fraglichen intervall.
Gruß v. Angela
> komme ich auf andere Extrema,
> da komme ich
> auf [mm]x_1=0, x_{2/3}=2[/mm] und [mm]x_3=0,71922[/mm] und [mm]x_4=1,7808[/mm]
>
> schau nochmal nach, wobei die x=2 wohl keine Extrema sind,
> sondern nur mögliche, aber die zweite Ableitung habe ich
> nicht gemacht, sieht aber laut Graph sehr nach WP aus, aber
> x3 und x4 solltest du haben
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 07:55 Mi 11.08.2010 | | Autor: | Adamantin |
Genau das habe ich gemeint, die Nullstellen der ersten Ableitung, die man mittels Polynomdivision bestimmen kann, lauten wie von mir beschrieben ^^
oki habe mich vertan, er soll natürlich die WP berechnen, ist in Ordnung ^^ Meine Werte stellen die Extrema von f(x) dar
Erinner mich in Zukunft daran, keine Fragen vor 8 zu beantworten..
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> So habe ich dann raus
>
> für a) die maximale positive Steigung ist an der Stelle
> (1,17|0,35). (Hochpunkt)
> bei b) ist doch nach der maximalen negativen Steigung also
> Tiefpunkt gefragt. Und das wäre: (0,27|-8,87)
Hallo,
daß die max. pos. Steigung bei [mm] x_1=1.17 [/mm] und die max. neg. Steigung bei [mm] x_2=0.27 [/mm] sind, stimmt.
Aber was soll die zweite Koordinate Deiner Punkte darstellen? Den Funktionswert oder die Steigung? (Beides paßt nicht recht zu meinem Plot.)
Beachten mußt Du bei der Dir vorliegenden Aufgabe noch eine kleine Spezialität - ich konnte nicht erkennen, ob Du das getan hast:
Du suchst ja die Extrema der Funktion g:=f' über dem Intervall [0,2.5].
Errechnet hast Du zunächst die lokalen Extremwerte - Du mußt sie aber unbedingt noch mit den beiden Intervallenden vergleichen, denn hier könnte es Extrema von g geben ohne waagerechte Tangente, also ohne daß g'=f''=0.
Bei Deiner Funktion ist das nicht der Fall - ich möchte bloß daraufhinweisen, weil man z.B. in Klausuren bei der Frage nach den Extremwerten oft noch die Intervallenden anschauen muß.
Gruß v. Angela
>
>
> ist das so richtig?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:04 Di 10.08.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo Mathics,
>
> > Eine Bergetreppe wird beschrieben durch den Graphen der
> > Funktion mit
> > f(x)= [mm]-0,1x^6[/mm] + [mm]0,9x^5-3x^4+4,4x^3-2,4x^2+2[/mm]
> > im Intervall, wobei in einem örtlicgen Koordinatensystem
> > in der Einheit km gemessen wird.
> >
> > a) Bestimmen Sie die Stelle, an der die Steigung dieser
> > Bergetreppe maximal ist. Wie groß ist die?
> >
> > b)Untersuchen Sie, an welcher Stelle das stärkste Gefälle
> > vorliegt.
> > Hallo,
> >
> > zu Aufgabe a) Hier ist der Wendepunkt gefragt, der
> > gleichzeitig in unserem Fall das Maximum des Graphen der 1.
> > Ableitung ist.
Oder das Minimum ("größter" negativer Anstieg).
Gruß Abakus
> >
> > zu Aufgabe b) Hier ist auch der Wendepunkt gefragt,
> > allerdings der Maximum des Graphen der 1. Ableitung (hier
> > bin ich mir nicht sicher !?)
> >
> > ich habe ein großes Problem bei dieser Aufgabe. Und zwar
> >
> > ich habe erst mal alle Ableitungen gebildet wie gewohnt:
> >
> > Ursprung : f(x)= [mm]-0,1x^6[/mm] + [mm]0,9x^5-3x^4+4,4x^3-2,4x^2+2[/mm]
> > 1.Abl. : f‘(x)= [mm]-0,6x^5[/mm] + [mm]4,5x^4-12x^3+13,2x^2-4,8x[/mm]
> > 2.Abl. : f‘‘(x)= [mm]-3x^4[/mm] + [mm]18x^3-36x^2+26,4x-4,8[/mm]
> > 2.Abl. : f‘‘‘(x)= [mm]-12x^3[/mm] + [mm]54x^2-72x+26,4x[/mm]
>
>
>
>
>
> >
> > Ich rechne nun die Wendepunkte aus, die ja gleichzeitig die
> > Maxima des Graphen der 1. Ableitung sind.
> > Also f‘‘=0
> > f‘‘‘ ungleich 0
> > Ich erhalte als x-Werte: x=2 ; x=0,27 ; x=1,17 ;
> x=2,56
>
>
>
>
>
> >
> > Und als y- Wert für das erste x ebenfalls 2.
> > Aber beim Graphen der 1. Ableitung handelt es sich doch
> um
> > einen Graphen 5. Grades, bei dem die Extreme im Unendlichen
> > liegen, da der Graph nach oben und nach unten offen ist.
> > So komme ich hierbei nicht weiter. Wieso erhalte ich
> z.B.
> > den Wendepunkt bei 2/2 ????
>
>
>
> Nun, 2 ist eine Lösung der Gleichung [mm]f''\left(x\right)=0[/mm].
>
>
> > Ich komme echt nicht weiter.
>
>
> Global gesehen hast Du recht, hier sind
> wohl aber die lokalen Extrema gesucht.
>
>
> Gruss
> MathePower
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