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Forum "Rationale Funktionen" - Wendepunkt bei gebrochenration
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Wendepunkt bei gebrochenration: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:56 Mi 23.03.2005
Autor: jonkal

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hallo,

ich habe folgende Funktion vorliegen, weiß nicht genau ob die Ableitungen richtig sind, weil mein PC beim Wendepunkt was anderes ausspuckt. Gibt es bei dieser Funktion überhaupt einen Wendepunkt, wenn ja welchen?

f(x) = [mm] (x^3-5x^2+3x+9)/(2x^2) [/mm]

f´(x) = [mm] (x^3-3x-18)/(2x^3) [/mm]
f´´(x) = [mm] (6x+54)/(2x^4) [/mm]
f´´´(x) = [mm] (-9x-108)/x^5 [/mm]

Der Wendepunkt läge doch dann bei x = -9, aber wie geht das an?

Danke für´s Nachrechnen, liebe Grüße, Jonkal

        
Bezug
Wendepunkt bei gebrochenration: Wendestelle
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:11 Mi 23.03.2005
Autor: Loddar

N'Abend jonkal,

auch Dir hier ein [willkommenmr] !!


> f(x) = [mm](x^3-5x^2+3x+9)/(2x^2)[/mm]
> f´(x) = [mm](x^3-3x-18)/(2x^3)[/mm]
> f´´(x) = [mm](6x+54)/(2x^4)[/mm]
> f´´´(x) = [mm](-9x-108)/x^5[/mm]

[daumenhoch] Diese Ableitungen habe ich auch.
(Bei $f''(x)$ könnte man noch durch 2 kürzen.)

  

> Der Wendepunkt läge doch dann bei x = -9, aber wie geht das an?

[daumenhoch]

Was spricht jetzt dagegen? Es gilt auch [mm] $f'''(x_w) [/mm] \ = \ f'''(-9) \ [mm] \not= [/mm] \ 0$

Wenn man sich den Graph mal aufzeichnet, ist halt der Krümmungswechsel an der Wendestelle nur sehr schwach ausgeprägt - aber vorhanden!



Unsere Funktion nähert sich für $x [mm] \to \pm \infty$ [/mm] der Geraden $g(x) \ = \ [mm] \bruch{1}{2}x [/mm] - [mm] \bruch{5}{2}$ [/mm] asymptotisch an.

In der Skizze sieht man, daß diese Gerade (mit Linkskrümmung) geschnitten wird. Damit die o.g. Gerade auch wirklich eine Asymptote ist, muß (mind.) eine Wendestelle vorliegen; bei [mm] $x_w [/mm] \ = \ -9$ !!

[Dateianhang nicht öffentlich]


Gruß
Loddar


Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Bezug
                
Bezug
Wendepunkt bei gebrochenration: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:19 Mi 23.03.2005
Autor: jonkal

Danke für´s nachrechnen, beruhigt mich ja.

Aber müßten dann nicht zwei extrempunkte vorliegen, einer auch noch auf dem linken Ast, den asymptotisch annähern, heißt doch daß der Abstand zur Asymptote immer geringer wird?

Bezug
                        
Bezug
Wendepunkt bei gebrochenration: Abstandsfunktion
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:31 Mi 23.03.2005
Autor: Loddar

Hallo jonkal!


> Aber müßten dann nicht zwei extrempunkte vorliegen, einer
> auch noch auf dem linken Ast, den asymptotisch annähern,
> heißt doch daß der Abstand zur Asymptote immer geringer
> wird?

Wie Du schon schreibst: der Abstand !!

Also die Abstandsfunktion $d(x)$ mit $d(x) \ = \ g(x) - f(x)$ hat hier ein Extremwert, aber nicht unsere Ausgangsfunktion $f(x)$.
(Was sich durch eine Nullstellenberechnung von [mm] $f'(x_E)$ [/mm] ja leicht belegen läßt ...).


Loddar


Bezug
                                
Bezug
Wendepunkt bei gebrochenration: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:34 Mi 23.03.2005
Autor: jonkal

Sorry, aber das versteh ich nicht, kannst du es anders beantworten, oder ausführlicher?

Danke

Bezug
                                        
Bezug
Wendepunkt bei gebrochenration: Erläuterung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:14 Do 24.03.2005
Autor: Loddar

Guten Morgen jonkal!


Wenn ich für unsere Funktion eine Extremwertberechnung durchführen möchte, muß ich ja die Nullstellen der 1. Ableitung ermitteln (notwendiges Kriterium).

Das heißt, hier muß ich rechnen: [mm] $f'(x_E) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x^3-3x-18}{2x^3} [/mm] \ = \ 0$

Dieser Bruch hat aber nur an der Stelle [mm] $x_E [/mm] \ = \ 3$ eine (reelle) Nullstelle. Es gibt also maximal einen Extremwert (ein rel. Minimum) an dieser Stelle.






Mit der Bemerkung, daß "asymptotisch annähern" bedeutet, daß der Abstand immer geringer wird, hast Du völlig recht!

Aber da sich bei [mm] $x_S [/mm] \ = -3$ die Asymptotengerade und unsere Funktion schneiden und anschließend wieder asymptotisch annähern, bedeutet noch nicht, daß unsere Funktion $f(x)$ einen Extremwert im negativen Bereich hat.


Ein Extremwert in diesem Bereich ergibt sich lediglich für die Abstandsfunktion $d(x)$.

Diese Abstandsfunktion gibt den Abstand zwischen unserer Funktion $f(x)$ und der Asymptote $g(x)$ an (dabei handelt es sich um den vertikalen Abstand zwischen diesen beiden Kurven).

Formel:
$d(x) \ = \ g(x) - f(x) \ = \ [mm] \left( \bruch{1}{2}x - \bruch{5}{2}\right) [/mm] - [mm] \left(\bruch{x^3-5x^2+3x+9}{2x^2}\right) [/mm] \ = \ - [mm] \bruch{3x+9}{2x^2}$ [/mm]

Wenn Du hier nun eine Extremwertberechnung durchführen, ergibt sich ein maximaler Abstand zwischen diesen beiden Kurven bei [mm] $x_E [/mm] \ = \ -6$.


Nun etwas klarer?

Gruß
Loddar


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