Wendepunkt < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:34 Mi 21.03.2007 | | Autor: | TopHat |
| Aufgabe | | Warum muss bei einer Funktion f(x), die bei z (z ist der x-Wert, f(z) der Funktionswert an der Stelle z) einen Wendepunkt hat, die 3 Ableitung ungleich Null sein? Es wurde schon gezeigt, dass die erste Ableitung bei z nicht 0 ist. |
Ja, also wir sollten bei einer Klausur eine Funktion nach Wendepunkten untersuchen und ich habe einfach die 3. Ableitung nicht kontrolliert. Und da fehlt mir natürlich jetzt ein Punkt. Naja, nicht so tragisch, aber was ich wirklich wissen möchte ist, ob es eine Funktion gibt, die keinen Wendepunkt an einer Stelle z hat, aber bei der bei z die erste Ableitung nicht 0, und die 2. Ableitung 0 wird.
Ich habe schon wüberlegt, bin aber noch nicht wirklich zu einem Schluss gekommen, wie die Funktion aussehen soll, geschweige denn wie ich die Hauptfrage bestätigen oder widerlegen kann. Der einzige Ansatzpunkt ist halt, ein Gegenbeispiel zu finden. Leider ist mir das bisher nicht gelungen...
Würde mich über eure Gedanken freuen!
|
|
| |
|
Hallo TopHat,
so spontan fällt mir mal ein:
$f(x)=x$ , Stelle $z:=1$
[mm] $\Rightarrow [/mm] f'(x)=1 [mm] \Rightarrow f'(1)=1\ne [/mm] 0$
$f''(x)=0$ [mm] \Rightarrow [/mm] $f''(1)=0$
$f'''(x)=0$ [mm] \Rightarrow [/mm] $f'''(1)=0$
Also an der Stelle z=1 ist die erste Ableitung [mm] \ne [/mm] 0 , 2te Ableitung =0, aber die hinreichende Bedingung [mm] f'''(z)\ne [/mm] 0 nicht erfüllt, also kein WP
Meintest du sone Art Bsp.?
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:57 Mi 21.03.2007 | | Autor: | TopHat |
stimmt, du hast recht. Das ist wirklich ganz einfach.
Aber gibt es auch eine Funktion höheren Grades?
|
|
|
| |
|
jo ich glaube, ich habe eine konstruiert.
[mm] $f(x)=(x-1)^3+3x^2$ [/mm] an der Stelle z:=0
[mm] \Rightarrow f'(x)=3(x-1)^2+6x \Rightarrow [/mm] f'(0)=3 [mm] \ne [/mm] 0
f''(x)=6(x-1)+6 [mm] \Rightarrow [/mm] f''(0)=0
f'''(x)=6x [mm] \Rightarrow [/mm] f'''(0)=0
Also auch hier kein WP an der Stelle 0
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:24 Do 22.03.2007 | | Autor: | SLe |
Du hast dich verrechnet. Die dritte Ableitung wird nicht 6x sondern 6. Aber ich hätte ein anderes Beispiel:
1/12 [mm] x^{4} [/mm] - 4/6 [mm] x^{3} [/mm] + 2 [mm] x^{2}
[/mm]
Die 2. Ableitung ist dann [mm] x^{2} [/mm] - 4 x + 4
Und die ist Null für x=2, ihre Ableitung aber auch.
|
|
|
|
