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Wendepunkt : Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:47 Sa 23.10.2004
Autor: irmi01

Hallo!

Ich möchte die allgemeine y-Koordinate des Wendepunktes ausrechnen, komme aber nicht mit dem Lösen der Gleichung zurecht.

Die Gleichung lautet:

[mm] ax^{3}+bx^{2}+cx+d=y[/mm]

[mm] x=-\bruch{b}{3a} [/mm] einsetzen in die Gleichung. Dann erhalte ich:


[mm]a(-\bruch{b}{3a})^3+b(-\bruch{b}{3a})^2+c(-\bruch{b}{3a})+d=y[/mm]

nach weiteren Rechenschritten lande ich bei:

[mm]-\bruch{b^3}{27a^3}+\bruch{b^3}{9a^2}-\bruch{bc}{3a}+d=y[/mm]

Und jetzt weiß ich nicht weiter. Kann mit jemand helfen?


        
Bezug
Wendepunkt : Kleiner Fehler
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:13 Sa 23.10.2004
Autor: Paulus

Hallo Irmi

> Hallo!
>  
> Ich möchte die allgemeine y-Koordinate des Wendepunktes
> ausrechnen, komme aber nicht mit dem Lösen der Gleichung
> zurecht.
>
> Die Gleichung lautet:
>
> [mm]ax^{3}+bx^{2}+cx+d=y[/mm]
>  
> [mm]x=-\bruch{b}{3a}[/mm] einsetzen in die Gleichung. Dann erhalte
> ich:
>  

[ok]
>
> [mm]a(-\bruch{b}{3a})^3+b(-\bruch{b}{3a})^2+c(-\bruch{b}{3a})+d=y[/mm]
>  
> nach weiteren Rechenschritten lande ich bei:
>  
>
> [mm]-\bruch{b^3}{27a^3}+\bruch{b^3}{9a^2}-\bruch{bc}{3a}+d=y[/mm]
>  

[notok]

Ich denke, da ist ein kleiner Rechenfehler drin.

Ich lande nämlich bei [mm] $y=-\bruch{b^3}{27a^2}+\bruch{b^3}{9a^2}-\bruch{bc}{3a}+d$ [/mm]

(ein $a_$ hat sich weggekürzt)

Dann erhalte ich:

$y= [mm] \bruch{2b^{3}}{27a^{2}}+\bruch{bc}{3a}+d$ [/mm]

> Und jetzt weiß ich nicht weiter. Kann mit jemand helfen?
>  

Was denn noch weiter? Du hast ja jetzt den x- und den y-Wert, der Wendepunkt liegt bei $( [mm] \bruch{-b}{3a}, \, \bruch{2b^{3}}{27a^{2}}+\bruch{bc}{3a}+d)$ [/mm]

Zu prüfen wäre nur noch, was denn mit der 3. Ableitung bei [mm] $x=\bruch{-b}{3a}$ [/mm] passiert.

Die 3. Ableitung ist aber konstant 6a, und nach der impliziten Voraussetzung (Polynom 3. Grades) [mm] $\not [/mm] = 0$ :-)

Mit lieben Grüssen

Paul
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