Wellengleichung < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:17 Sa 31.05.2008 | | Autor: | damaja |
Hallo,
also die Aufgabe lautet, die 2-dimensionale Wellengleichung für ein Rechteck zu lösen.
Die Wellengleichung lautet ja:
[mm] u_{xx}+u_{yy}-\bruch{1}{c^{2}}u_{tt} [/mm] = 0
Nun hab ich wie für den 1-dimensionalen Fall auch den Bernoullischen Produktansatz versucht:
u(x,y,t) = [mm] \underbrace{X(x)*Y(y)}_{=:Z(x,y)}*T(t)
[/mm]
[mm] \Rightarrow \underbrace{\bruch{Z_{xx}+Z_{yy}}{Z}}_{\alpha^{2}+\beta^{2}}=\underbrace{\bruch{T_{tt}}{c^{2}*T}}_{\lambda^{2}}
[/mm]
An dieser Stelle komme ich nicht leider weiter. Diese Gleichung gilt ja nur, wenn beiden Seiten konstant sind, d.h. [mm] \alpha^{2}+\beta^{2}=\lambda^{2}
[/mm]
Kann ich nun die linke Seite aufteilen, so dass dann [mm] \bruch{Z_{xx}}{Z}=\alpha^{2} [/mm] und [mm] \bruch{Z_{yy}}{Z}=\beta^{2} [/mm] ?
Komme ich so irgendwie weiter?
Für einen Tipp wäre ich sehr dankbar.
Gruß
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Hallo damaja,
> Hallo,
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> also die Aufgabe lautet, die 2-dimensionale Wellengleichung
> für ein Rechteck zu lösen.
> Die Wellengleichung lautet ja:
> [mm]u_{xx}+u_{yy}-\bruch{1}{c^{2}}u_{tt}[/mm] = 0
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> Nun hab ich wie für den 1-dimensionalen Fall auch den
> Bernoullischen Produktansatz versucht:
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> u(x,y,t) = [mm]\underbrace{X(x)*Y(y)}_{=:Z(x,y)}*T(t)[/mm]
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> [mm]\Rightarrow \underbrace{\bruch{Z_{xx}+Z_{yy}}{Z}}_{\alpha^{2}+\beta^{2}}=\underbrace{\bruch{T_{tt}}{c^{2}*T}}_{\lambda^{2}}[/mm]
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> An dieser Stelle komme ich nicht leider weiter. Diese
> Gleichung gilt ja nur, wenn beiden Seiten konstant sind,
> d.h. [mm]\alpha^{2}+\beta^{2}=\lambda^{2}[/mm]
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> Kann ich nun die linke Seite aufteilen, so dass dann
> [mm]\bruch{Z_{xx}}{Z}=\alpha^{2}[/mm] und
> [mm]\bruch{Z_{yy}}{Z}=\beta^{2}[/mm] ?
Das kannst Du so aufteilen. Nur kommst Du da meines Wissens nicht auf eine sinnvolle Lösung. Die 2-dimensionale Wellengleichung beinhaltet trigometrische Funktionen.
Demnach ist es besser wenn Du wählst:
[mm]\bruch{Z_{xx}}{Z}=-\alpha^{2}, \ \bruch{Z_{yy}}{Z}=-\beta^{2}, \bruch{T_{tt}}{c^{2}T}=-\lambda^{2}[/mm]
Die allgemeine Wahl ist
[mm]\bruch{Z_{xx}}{Z}=c_{1},\ \bruch{Z_{yy}}{Z}=c_{2}, \bruch{T_{tt}}{c^{2}T}=c_{3}[/mm]
mit [mm]c_{1}+c_{2}=c_{3}[/mm]
Diese Wahl geht mit Fallunterscheidungen einher.
>
> Komme ich so irgendwie weiter?
> Für einen Tipp wäre ich sehr dankbar.
>
> Gruß
Gruß
MathePower
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