Welches Konvergenzkriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:08 Mi 02.12.2009 | | Autor: | LariC |
| Aufgabe | Ich will die Konvergenz folgender Reihen bestimmen:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}(3^n+(-2)^n/n) *(1/3)^n
[/mm]
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}(3^n+(-2)^n/n) *(-1/3)^n
[/mm]
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Hallo, im Prinzip habe ich diese Art von Aufagebn jetzt echt kapiert und kann die auch, aber hier weiß ich einfach nicht wlches Kriterium ich nawenden kann.
Habe jetzt alle einmal durchprobiert und irgenwie nichts über die KOnvergenz aussagen können.
Könnte mir jemand einen Tipp geben, mit welchem Kriterium das geht!?
ich hatte die reihen immer noch so umgeschrieben:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}(3^n+(-2)^n/n*3^n) [/mm]
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}((-3)^n+2^n/n*3^n) [/mm]
Ich wäre wirklich dankbar, für einen Tipp der funktioniert!
Danke im voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:19 Mi 02.12.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo LariC!
Forme die Summandenterme erst um. Dann sollte man zunächst klären, o es sich hierbei um Nullfolgen handelt (= notwendiges Kriterium für Reihenkonvergenz):
[mm] $$\left(3^n+\bruch{(-2)^n}{n}\right)*\left(\bruch{1}{3}\right)^n$$
[/mm]
$$= \ [mm] \left(\bruch{3}{3}\right)^n+\bruch{(-2)^n}{3^n*n}$$
[/mm]
$$= \ [mm] 1^n+\bruch{\left(-\bruch{2}{3}\right)^n}{n}$$
[/mm]
Und das strebt für [mm] $n\rightarrow\infty$ [/mm] gegen ...?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:20 Mi 02.12.2009 | | Autor: | LariC |
Hey Loddar, erstmal vielen dank.
Ja so wäre das ganz gut gegangen, aber ich sehre gerade das ich die Aufgabe nicht eindeutig richtig aufgeschrieben hatte, die [mm] 3^n [/mm] sind mit oben im Zähler.
Bei der anderen Folge würde es mir doch ganz danach aussehemn, dass das notwendige kriterium nicht erfüllt ist, denn die <Folge hätte dann ja den lim 1 und bei (-1/3) würde sich dann ja lim -1 ergeben.
Somit wären beide divergent - aber das stimmt eben nicht so für meine Reihe. Also sry - das ich das nicht so korrekt aufgeschrieben habe - wie wäre es denn jetzt?
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Hallo LariC,
der Formeleditor kann auch Brüche darstellen: \bruch{Zähler}{Nenner} ergibt [mm] \bruch{\text{Zähler}}{\text{Nenner}} [/mm] - dafür darf dann aber kein "/" zwischen Zähler und Nenner stehen!
Du willst also diese beiden Reihen untersuchen:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{3^n+(-2)^n}{n} \cdot{}\left(\bruch{1}{3}\right)^n [/mm]
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{3^n+(-2)^n}{n} \cdot{}\left(-\bruch{1}{3}\right)^n [/mm]
Nehmen wir mal die erste davon, wenn die nämlich schon konvergiert, dann tut es die zweite ja sicher auch.
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{3^n+(-2)^n}{n} \cdot{}\left(\bruch{1}{3}\right)^n=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{3^n}{3^{n}n}+\bruch{(-2)^n}{3^{n}n} \cdot{}\left(\bruch{1}{3}\right)^n=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n} +\left(-\bruch{2}{3}\right)^n *\bruch{1}{n}
[/mm]
Der linke Term scheint ja schonmal verräterisch. Die harmonische Reihe ist ja divergent. Mal sehen, was uns der rechte Term verrät.
Ich betrachte mal den rechten Term für die beiden aufeinanderfolgenden Glieder mit dem Index n=2k und n+1=2k+1.
[mm] \left(-\bruch{2}{3}\right)^{2k} *\bruch{1}{2k}+\left(-\bruch{2}{3}\right)^{2k+1} *\bruch{1}{2k+1}=\left(\bruch{2}{3}\right)^{2k} *\left(\bruch{1}{2k}-\bruch{2}{3(2k+1)}\right)=\left(\bruch{2}{3}\right)^{2k}*\bruch{3(2k+1)-2*2k}{3*2k(2k+1)}=\left(\bruch{2}{3}\right)^{2k}*\bruch{2k+3}{3*2k(2k+1)}\blue{>0}
[/mm]
Die letzte Feststellung reicht mir ja. Wir haben also eine Reihe vor uns, die größer ist als die harmonische Reihe.
Das sauber aufzuschreiben, braucht aber noch etwas Denkarbeit. Tipp: zerlege die Reihe in zwei Reihen und überlege, was dann zu zeigen ist.
Bei Deiner zweiten Reihe kannst Du übrigens ähnlich verfahren, indem Du auch da immer zwei Folgenglieder zusammenfasst. Oder Du schaust Dir das Leibniskriterium nochmal gaaanz scharf an.
lg
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:04 Mi 02.12.2009 | | Autor: | LariC |
Ok...ich denke die erste habe ich jetzt soweit kapiert - was ich gut finde ist, dass anscheinend wirklich keines der bisherigen konvergenzkriterien funktioniert, sonst hättest du das wohl auch damit erledigt. Also muss ich das nochmal ordentlich aufschreiebn und dann sollte das auch funktionieren - danek schön!
Jetzt zu der 2, also ich hbe das schon mit Leibntitz gemacht und zwar so:
[mm] \bruch{3^n+(-2)^n}{n*3^n}*(-1)^n
[/mm]
[mm] =\bruch{3^n(1+(-(2/3))^n}{n*3^n}*(-1)^n
[/mm]
[mm] =\bruch{1-(2/3))^n}{n}*(-1)^n
[/mm]
Bilden wir den limes davon haben wir:
lim [mm] \bruch{1-(2/3))^n}{n}
[/mm]
=lim [mm] 1/\infty [/mm] = 0
ok - damit ist es eine Nullfolge(wenn 1/unendlich=0 ist!), aber jetzt muss ich ja noch zeigen, dass die Folge mionoton fallend ist, also an+1<=an
Und da bin ich iommer festgesteckt :(
(Hoffe das mit den Brüchen klappt so!?)
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Hallo LariC,
das sieht fast gut aus.
Dein Vorzeichen vor der Potenz von [mm] (\tfrac{2}{3}) [/mm] ist mir zu sehr festgelegt. Warrum eigentlich? Schau nochmal genau hin. Am Ergebnis ändert das nichts, aber an der weiteren Behandlung sehr wohl!
Dass [mm] a_{n+1}
Es sind gar nicht so viel Umformungen. 
Viel Erfolg!
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:56 Mi 02.12.2009 | | Autor: | LariC |
nagut, wenn du meinst danke dir!
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Hallo LariC,
ich dachte, Du arbeitest noch dran. Aber da sind offenbar andere Pläne dazwischen gekommen.
Ist Dir aufgefallen, dass dieser Übergang nicht geht?
> lim [mm]\bruch{1-(2/3))^n}{n}[/mm]
> =lim [mm]1/\infty[/mm] = 0
Der Zwischenschritt ist vielleicht gut gedacht, aber mathematisch völlig inkorrekt. Richtig ist aber > [mm] \lim\bruch{1-(2/3))^n}{n}=0
[/mm]
> Jetzt zu der 2, also ich hbe das schon mit Leibntitz
> gemacht und zwar so: [...]
Deine Umformung aus dem ersten Aufgabenteil hätte ja so heißen müssen:
[mm] a_n=\bruch{1\red{+}(\red{-}2/3))^n}{n}
[/mm]
> ok - damit ist es eine Nullfolge(wenn 1/unendlich=0 ist!),
Dieses Ergebnis bleibt.
> aber jetzt muss ich ja noch zeigen, dass die Folge mionoton
> fallend ist, also an+1<=an
Nimm mal die berichtigte Fassung. Das sieht - auch nach ein bisschen Rechnung - ja nicht so aus, als ob man das zeigen könnte.
So geht es aber: die gefundene Ungleichung ist für gerade n immer wahr. Für ungerade n lässt sich zeigen, dass sie ab n=3 gilt. "Im Unendlichen" gilt sie also uneingeschränkt.
> (Hoffe das mit den Brüchen klappt so!?)
Ja. Benutze ansonsten die "Vorschau"-Funktion links unter dem Eingabefenster, dann kannst Du es Dir vorher ganz alleine anschauen..
lg
rev
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