Welche Dosis hat 1 Zigarette? < Sonstiges < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:48 Sa 02.12.2006 | | Autor: | tomde |
| Aufgabe | Ich habe vor kurzem erfahren, dass ein Raucher, wenn er ungefähr 10 Zigaretten am tag raucht, nach 10 Jahren eine Dosis von 800 mSv vom radioaktivem Isotop polonium 210 erhält. die physikalische Halbwertszeit von Polonium-210 beträgt 138 Tage, die biologische Halbwertszeit ungefähr 50 Tage. Welche dosis steckt nun in einer Zigarette. kann mir da jemand helfen?
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Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
[http://www.forenshop.net/cgi-bin/forenserver/foren/F_0504/cutecast.pl?forum=19&thread=26]
Mir ist schon bewusst, dass dies keine leichte Aufgabe ist. Erstens zwei Halbwertszeiten. Ich gehe mal davon aus, dass es frische Zigaretten sind, sonst müssten wir auch noch das Alter der Zgaretten berücksichtigen.
Dir Formel für die Halbwertszeit lautet: [mm] N(t)=N_0 * e^{-xt} [/mm], wobei x die Zerfallskonstante ist. Aber wie integriere ich diese Formel über 36500 Tage? Noch dazu kommen jeden Tag neue Zigaretten dazu. Ich muss ehrlich gestehen, diese Aufgabe überfordert mein mathematisches Können. Trotzdem würde mich einfach interessieren, wieviel Dosis eine Zigarette enthält, damit ich nach 10 Jahren die canzerogene Dosis gekommen kann. Ist nicht sehr eilig, einfach interessant für mich.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:42 So 03.12.2006 | | Autor: | fritzli |
Ich habe sowas in dieser Form auch nie durchgenommen, bin mir bei meinem Lösungsvorschlag darum sehr unsicher, will aber doch meine Überlegungen doch mal aufschreiben, die Lösung interessiert mich dann nämlich auch.
Erstmal rechne ich die beiden Zerfallskonstanten aus.
Ich rechne mit $ [mm] \frac{1}{2} [/mm] = 1 [mm] \cdot e^{-x_1 \cdot 138}$ [/mm] bzw. $ [mm] \frac{1}{2} [/mm] = 1 [mm] \cdot e^{-x_2 \cdot 50}$
[/mm]
und erhalte so die beiden Zerfallskonstanten
[mm] $x_1 [/mm] = [mm] \frac{ln(2)}{138} [/mm] = 0.005023 $ und [mm] $x_1 [/mm] = [mm] \frac{ln(2)}{50}= [/mm] 0.013863$
Ich nehme für die Halbwertszeit $N(t) = [mm] N_0 \cdot e^{-0.005023 \cdot t} \cdot e^{-0.013863 \cdot t} [/mm] = [mm] N_0 \cdot e^{-0.18886 \cdot t}$
[/mm]
(...da besteht meine grösste Unsicherheit)
Dann rechne ich die Konzentration für die Zigaretten jedes Tages aus, also
$N = [mm] N_0 \cdot e^{-0.18886 \cdot 36500} +N_0 \cdot e^{-0.18886 \cdot 36499} [/mm] + [mm] N_0 \cdot e^{-0.18886 \cdot 36498} [/mm] + [mm] \dots [/mm] = [mm] \sum_{t=1}^{36000} N_0 \cdot e^{-0.18886 \cdot t} [/mm] = [mm] N_0 \cdot \sum_{t=1}^{36000} e^{-0.18886 \cdot t}$
[/mm]
Nun nehme ich einen Taschenrechner zu Hilfe, der Summen rechnen kann und setze das Ganze dann gleich 800mSv. Wenn ich dann nach [mm] $N_0$ [/mm] auflöse, erhalte ich den Wert für 10 Zigaretten.
$ [mm] N_0 =\frac{800}{\sum_{t=1}^{36000} e^{-0.18886 \cdot t}}$ [/mm] = 14.966825
Pro Zigarette gäbe das dann 1.497 mSv
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:55 Sa 30.12.2006 | | Autor: | fritzli |
Ich hab die Aufgabe nach längerer Zeit nochmals angeschaut und in meiner Lösung nun eine Verbesserung angebracht. Nun hoffe ich, es findet sich gelegentlich noch jemand, der diese Lösung überprüft und mir sagt ob meine Überlegungen richtig sind und mich allenfalls verbessert.
Hab dem nun den Fragestatus gegeben... hoffe das stimmt so... ich will ja wissen, ob ich richtig liege.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:34 Sa 30.12.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Ich denke, die Antwort ist korrekt, aber um anderen die Chance zu geben, lasse ich die Frage mal auf teilweise beantwortet.
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:24 Sa 30.12.2006 | | Autor: | ullim |
Hi Fritzli,
ich habe folgende Anmerkungen zu Deinen Überlegungen.
Die physikalische Halbwertszeit hätte ich nur dann berücksichtigt, wenn man den Alterungsprozess der Zigaretten berrücksichtigen will, also z.B. wenn Du ein Zigarettenlager hättest. Wenn man davon ausgeht, dass man immer neue Zigaretten benutzt, reicht meiner Meinung nach die Berücksichtigung der biologischen Halbwertszeit.
Berücksichtigt man aber den Alterungsprozess der Zigaretten, dann kommt es wesentlich darauf an, für welche Zeit man den Vorrat angelegt hat. Legt man ihn z.B für die gesamten 10 Jahre an, enthalten die letzten gerauchten Zigaretten fast kaum noch Polonium, da es ja mit der Zeit zerfällt, und in Bezug auf die 3650 Tage (10 Jahre) ist die Halbswertszeit von 138 Tage ja relativ kurz. Falls unter diesen Voraussetzungen immer noch 800 mSv festgestellt werden sollten, muss die Dosis pro Zigarette natürlich viel höher sein.
Formelmäßig kann man das meiner Meinung nach wie folgt modellieren:
[mm] N=N_0\summe_{i=1}^{n}e^{-\lambda_P*i\Delta t}*e^{-\lambda_B*(T-i\Delta t)} [/mm] mit
[mm] \lambda_P [/mm] = Zerfallskonstante entspr. der physikalischen Halbswertszeit
[mm] \lambda_B [/mm] = Zerfallskonstante entspr. der biologischen Halbswertszeit
n = Anzahl der insgesamt über 10 Jahre gerauchten Zigaretten
[mm] \Delta{t} [/mm] = mittlerer zeitlicher Abstand zwischen den gerauchten Zigaretten in Tagen [mm] (=\bruch{1}{10})
[/mm]
N = Festgestellte Poloniumdosis nach 10 jahren
[mm] N_0 [/mm] = Poloniumdosis pro Zigarette
T = 3650 Tage (= 10 Jahre)
mfg ullim
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:36 Sa 30.12.2006 | | Autor: | PKlein |
Die einzelnen Dosen ergeben addiert die Gesamtdosis von 800 mSv.
10 Zigaretten am Tag über 10 Jahre (je 365,25 Tage) ergeben die Gesamtdosis von 800 mSv, eine Zigarette würde mit einer Teildosis von etwa 0,02 mSv zur Gesamtdosis beitragen.
Leider wird jedoch nicht deutlich, um welche Dosis es sich handelt. Vermutlich ist hier die Lungendosis gemeint. das Ergebnis würde dann in etwa mit den Aussagen in
![[]](/images/popup.gif) http://www.aerzteinitiative.at/Strahlen.htm
übereinstimmen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:00 Sa 30.12.2006 | | Autor: | ullim |
Hi,
ich glaube nicht das man hier linear rechnen kann. Da die Halbwertszeiten bekannt sind, muss man wohl mit einem expotentiellen Ansatz rechnen. Außerdem ist in Deinem Link ja auch angegeben, das eine Zigarette ca. 1.2 µSv enthält und nicht wie von Dir angegeben 0,02 µSv. Über den expotentiellen Ansatz, ohne Berücksichtigung der physikalischen Halbwertszeit kommt man auch ungefähr auf diesen Wert (s. Postings oben).
mfg ullim
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:47 So 31.12.2006 | | Autor: | PKlein |
Hallo,
kleine Korrekturen:
1) in meinem Text habe ich nicht 0,02 [mm] $\mu$Sv [/mm] sondern 0,02 mSv (1 [mm] $\mu$Sv [/mm] = 0,001 mSv) geschrieben, was mit der Lungendosis im angegebenen Link (14,5 [mm] $\mu$Sv) [/mm] von der Größenordnung her übereinstimmt.
2) Im Posting von fritzli wird nicht das Ergebnis von etwa 1,2 [mm] $\mu$Sv [/mm] erhalten, sondern das Tausendfache hiervon, nämlich ca. 1,5 mSv.
Hinweis: Für beruflich strahlenexponierte Personen (d.h. Personen, die in kerntechnischen Anlagen tätig sind) beträgt der Grenzwert der effektiven Dosis 20 mSv im Kalenderjahr (§ 55 Strahlenschutzverordnung).
Diesen Jahresgrenzwert würde ich dann mit dem Rauchen von 14 Zigaretten (bei 1,5 mSv/Zigarette) überschreiten.
In meinen Augen hat tomde keine Aufgabe aus dem Mathematikuntericht aufgeführt, sondern irgendwo erfahren, dass "ein Raucher, wenn er ungefähr 10 Zigaretten am tag raucht, nach 10 Jahren eine Dosis von 800 mSv vom radioaktivem Isotop polonium 210 erhält". Die Frage wurde um die entsprechenden Halbwertszeiten ergänzt.
Es handelt sich hier jedoch nicht um ein mathematisches Problem sondern eher um ein Problem aus der Sicht des Strahlenschutzes. Die Begriffe Jahresdosis, Grenzwerte der Jahresdosis, Lebensdosis etc. stammen aus dem Strahlenschutz und stützen meine (einfache) "lineare Betrachtung" des Problems.
zur Info:
Die Tabakpflanzen reichern über die Wurzeln aus dem Boden u.a. die Radionuklide U 238 und Ra 226 in der Pflanze an. Über die Blatthaare (Trichone) werden aus der Luft in der Hauptsache das radioaktive Blei 210 (Pb 210) und das radioaktive Polonium 210 (Po 210) in ihren Blättern angereichert.
Sobald die Tabakpflanze geerntet wird, findet oben beschriebene Anreicherung der Radionuklide nicht mehr statt (vgl. auch die Grundlagen der C-14-Methode zur Altersbestimmung). Stattdessen zerfallen die eingebauten Radionuklide nur noch (u.a. auch in Po-210: Pb-210 -> Bi-210 -> Po-210, Halbwertszeit Pb-210 ca. 22,3 Jahre).
Die Halbwertszeiten nur von Po-210 zu betrachten ist hier also auch nicht ganz richtig, da im Zigarettenrauch auch Bestandteile der übrigen Radionuklide (die sich in der Tabakpflanze angereichert haben und u.a. zu Po-210 zerfallen) enthalten sind.
Noch ein Hinweis: Die tödliche Dosis für einen Menschen beträgt etwa 6 Gy (statt Sv wird in diesem Dosisbereich die Bezeichnug Gray verwendet), nach der rechnung von fritzli entspricht dieser Wert etwa dem Rauchen von 4000 Zigaretten, bei einem tägliche Konsum von 10 Zigaretten wird dieser Wert nach 400 Tagen erreicht (diese einfache Betrachtung ist nicht ganz richtig, weil eine einmalige Dosis von 6 Gy mit großer Wahrscheinlichkeit zum Tode führt, über einem längeren Zeitraum verteilt muss dies nicht der Fall sein).
Einen Guten Rutsch wünscht
PKlein
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