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| Aufgabe | Mit der Weierstrass-Substitution lässt sich die Integration einer rationalen Funktion in Sinus und Kosinus auf die Integration einer rationalen Funktion in einer Variablen zurückführen.
i) Zeigen Sie, dass sich aus t = tan [mm] (\bruch{x}{2}), -\pi< [/mm] x [mm] <\pi [/mm] , die folgenden Identitäten ergeben:
1) [mm] sinx=\bruch{2t}{1+t^2}
[/mm]
... |
Hallo,
ich weiß leider nicht was die Weierstrass-Substitution ist und habe weder in meinem Analysis-Buch, noch über Google was dazu gefunden.
Ich habe versucht da was umzuformen mit [mm] tanx=\bruch{sinx}{cosx} [/mm] oder [mm] tan^2(x)=\bruch{1}{cos^2x}-1, [/mm] aber das hat mich nicht weitergebracht.
Wäre echt super, wenn mir da jemand weiterhelfen kann.
Gruß
congo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:18 Mi 10.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> Mit der Weierstrass-Substitution lässt sich die
> Integration einer rationalen Funktion in Sinus und Kosinus
> auf die Integration einer rationalen Funktion in einer
> Variablen zurückführen.
> i) Zeigen Sie, dass sich aus t = tan [mm](\bruch{x}{2}), -\pi<[/mm]
> x [mm]<\pi[/mm] , die folgenden Identitäten ergeben:
>
> 1) [mm]sinx=\bruch{2t}{1+t^2}[/mm]
> ...
> Hallo,
>
> ich weiß leider nicht was die Weierstrass-Substitution ist
das: $t = [mm] tan(\bruch{x}{2})$ [/mm] (*)
> und habe weder in meinem Analysis-Buch, noch über Google
> was dazu gefunden.
>
> Ich habe versucht da was umzuformen mit
> [mm]tanx=\bruch{sinx}{cosx}[/mm] oder [mm]tan^2(x)=\bruch{1}{cos^2x}-1,[/mm]
> aber das hat mich nicht weitergebracht.
>
> Wäre echt super, wenn mir da jemand weiterhelfen kann.
Mit (*) berechne mal [mm] \bruch{2t}{1+t^2}
[/mm]
Zur Kontrolle: es kommt heraus: $2sin(x/2)cos(x/2)$
Jetzt betrachte [mm] $sin(\bruch{x}{2}+\bruch{x}{2})$ [/mm] und denke an das Additionstheorem des Sinus
FRED
>
> Gruß
> congo
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Ah ok, dann hatte ich das sogar soweit richtig. Nur nicht ans Additionstheorem gedacht. Danke!
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