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| Aufgabe | Seien [mm] f(x,y)=\bruch{x}{x^{2}+y^{2}+1} [/mm] und G(x,y)=(Gradient f)(x,y).
Seien W und Z zwei Wege von (1,0) zu (-1,0): die Strecke zwischen diesen Punkten und der obere Halbkreis mit Radius 1.
Berechnen Sie die Integrale [mm] \integral_{W} [/mm] G und [mm] \integral_{Z} [/mm] G.
Vergleichen Sie sie mit f(-1; 0) - f(1; 0). |
Hallo,
ich habe folgendes gemacht:
1. Gradienten bilden: grad [mm] f(x,y)=\vektor{\bruch{-x^{2}+y^{2}+1}{(x^{2}+y^{2}+1)^{2}} \\ \bruch{-2xy}{(x^{2}+y^{2}+1)^{2}}}
[/mm]
[mm] Z(t)=\vektor{cost \\ sint} [/mm] --> [mm] Z'(t)=\vektor{-sint \\ cost}
[/mm]
[mm] \integral_{Z} G=\integral_{0}^{\pi} [/mm] G(Z(t))*Z'(t)dt = [mm] \integral_{0}^{\pi} \vektor{\bruch{-cos^{2}t+sin^{2}t+1}{(cos^{2}t+sin^{2}t+1)^{2}} \\ \bruch{-2costsint}{(cos^{2}t+sin^{2}t+1)^{2}}}^{T}*\vektor{-sint \\ cost}dt [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\pi} \vektor{\bruch{-cos^{2}t+sin^{2}t+1}{(1+1)^{2}} \\ \bruch{-sin2t}{(1+1)^{2}}}^{T}*\vektor{-sint \\ cost}dt [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\pi} \vektor{\bruch{-cos^{2}t+sin^{2}t+1}{4} \\ \bruch{-sin2t}{4}}^{T}*\vektor{-sint \\ cost}dt
[/mm]
Kann man irgendwie [mm] -cos^{2}t+sin^{2}t [/mm] zusammenfassen?
2. W(t)= [mm] \vektor{-1 \\ 0}+t*\vektor{1-(-1) \\ 0-0} [/mm] --> W(t)= [mm] \vektor{-1 \\ 0}+t*\vektor{2 \\ 0}
[/mm]
[mm] W'(t)=\vektor{2 \\ 0}
[/mm]
[mm] \integral_{W} G=\integral_{-1}^{1} [/mm] G(W(t))*W'(t)dt
Stimmt das ?
Danke vorab.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:19 Mi 22.06.2011 | | Autor: | chrisno |
$1 - [mm] \cos^2(x) [/mm] = [mm] \sin^2(x)$
[/mm]
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Hallo monstre123,
> Seien [mm]f(x,y)=\bruch{x}{x^{2}+y^{2}+1}[/mm] und G(x,y)=(Gradient
> f)(x,y).
> Seien W und Z zwei Wege von (1,0) zu (-1,0): die Strecke
> zwischen diesen Punkten und der obere Halbkreis mit Radius
> 1.
> Berechnen Sie die Integrale [mm]\integral_{W}[/mm] G und
> [mm]\integral_{Z}[/mm] G.
> Vergleichen Sie sie mit f(-1; 0) - f(1; 0).
> Hallo,
>
> ich habe folgendes gemacht:
>
> 1. Gradienten bilden: grad
> [mm]f(x,y)=\vektor{\bruch{-x^{2}+y^{2}+1}{(x^{2}+y^{2}+1)^{2}} \\ \bruch{-2xy}{(x^{2}+y^{2}+1)^{2}}}[/mm]
>
> [mm]Z(t)=\vektor{cost \\ sint}[/mm] --> [mm]Z'(t)=\vektor{-sint \\ cost}[/mm]
>
>
> [mm]\integral_{Z} G=\integral_{0}^{\pi}[/mm] G(Z(t))*Z'(t)dt =
> [mm]\integral_{0}^{\pi} \vektor{\bruch{-cos^{2}t+sin^{2}t+1}{(cos^{2}t+sin^{2}t+1)^{2}} \\ \bruch{-2costsint}{(cos^{2}t+sin^{2}t+1)^{2}}}^{T}*\vektor{-sint \\ cost}dt[/mm]
> = [mm]\integral_{0}^{\pi} \vektor{\bruch{-cos^{2}t+sin^{2}t+1}{(1+1)^{2}} \\ \bruch{-sin2t}{(1+1)^{2}}}^{T}*\vektor{-sint \\ cost}dt[/mm]
> = [mm]\integral_{0}^{\pi} \vektor{\bruch{-cos^{2}t+sin^{2}t+1}{4} \\ \bruch{-sin2t}{4}}^{T}*\vektor{-sint \\ cost}dt[/mm]
>
> Kann man irgendwie [mm]-cos^{2}t+sin^{2}t[/mm] zusammenfassen?
>
Ja, gemäß dem Additionstheorem
[mm]\cos\left(a+b\right)=\cos\left(a\right)*\cos\left(a\right)-\sin\left(a\right)*\sin\left(a\right)[/mm]
mit a=b.
>
>
> 2. W(t)= [mm]\vektor{-1 \\ 0}+t*\vektor{1-(-1) \\ 0-0}[/mm] -->
> W(t)= [mm]\vektor{-1 \\ 0}+t*\vektor{2 \\ 0}[/mm]
> [mm]W'(t)=\vektor{2 \\ 0}[/mm]
>
>
> [mm]\integral_{W} G=\integral_{-1}^{1}[/mm] G(W(t))*W'(t)dt
>
Das Integral muss doch so lauten:
[mm]\integral_{W} G=\integral_{\red{0}}^{\red{2}}[/mm] G(W(t))*W'(t)dt
> Stimmt das ?
>
>
> Danke vorab.
Gruss
MathePower
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