Wegintegral Kreiskurve < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Berechnen Sie das Wegintegral [mm] \oint\vec{F}d\vec{r} [/mm] über eine Kreiskurve in der x-y Ebene um den Ursprung für eine Kraft mit den Komponenten [mm] F_{x}=-\frac{y}{x^{2}+y^{2}},F_{y}=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}. [/mm] |
Hallo,
ich habe damit angefangen, [mm] \vec{r} [/mm] in Polyarkoordinaten zu parametrisieren, also [mm] \vec{r}=(r\cos\phi,r\sin\phi). [/mm] Dann [mm] \frac{d\vec{r}}{d\phi}=(-r\sin\phi,r\cos\phi). [/mm]
Außerdem wird unsere Kraft zu: [mm] \vec{F}=(-\frac{\sin\phi}{r},\frac{\cos\phi}{r}). [/mm]
Dann gibt das Skalarprodukt folgendes: [mm] \vec{F}\cdot\frac{d\vec{r}}{d\phi}=\sin^{2}\phi+\cos^{2}\phi=1. [/mm] Dann liefert bei mir das Integral [mm] immer:\int_{0}^{2\pi}\vec{F}\frac{d\vec{r}}{d\phi}d\phi=\int_{0}^{2\pi}d\phi=2\pi. [/mm] Das Ergebnis kommt mir etwas seltsam vor. Ist es denn so richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:20 Di 02.11.2010 | | Autor: | m51va |
> Hallo,
hallo T_sleeper
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> ich habe damit angefangen, [mm]\vec{r}[/mm] in Polyarkoordinaten zu
> parametrisieren, also [mm]\vec{r}=(r\cos\phi,r\sin\phi).[/mm] Dann
> [mm]\frac{d\vec{r}}{d\phi}=(-r\sin\phi,r\cos\phi).[/mm]
Das klingt schon mal gut. Bei wegintegralen ist es immer gut zu parametrisieren. die Rechnung sieht auch richtig aus.
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> Außerdem wird unsere Kraft zu:
> [mm]\vec{F}=(-\frac{\sin\phi}{r},\frac{\cos\phi}{r}).[/mm]
ja das stimmt auch so.
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> Dann gibt das Skalarprodukt folgendes:
> [mm]\vec{F}\cdot\frac{d\vec{r}}{d\phi}=\sin^{2}\phi+\cos^{2}\phi=1.[/mm]
> Dann liefert bei mir das Integral
> [mm]immer:\int_{0}^{2\pi}\vec{F}\frac{d\vec{r}}{d\phi}d\phi=\int_{0}^{2\pi}d\phi=2\pi.[/mm]
besser hätte ich es nicht machen können^^
> Das Ergebnis kommt mir etwas seltsam vor. Ist es denn so
> richtig?
jap.
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