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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:06 Mo 01.12.2008 | | Autor: | cauchy |
| Aufgabe | Berechnen Sie für alle [mm] n\in\IZ [/mm] das Integral
[mm] \bruch{1}{2\pi i}\int_{\gamma}{\bruch{e^z-e^{-z}}{z^n}dz}
[/mm]
wobei [mm] \gamma [/mm] der Weg [mm] \gamma(t)=e^{it}, t\in[0,2\pi] [/mm] ist. |
Hallo Leute,
folgendes habe ich zu dieser Aufgabe gerechnet:
[mm] \bruch{1}{2\pi i}\int_{\gamma}{\bruch{e^z-e^{-z}}{z^n}dz}
[/mm]
Zuerst habe ich den "Weg eingesetzt" und erhalte:
[mm] \bruch{1}{2\pi i}\int_{0}^{2\pi}{\bruch{e^{e^{it}}-e^{-e^{it}}}{(e^{it})^n}d\gamma(t)}
[/mm]
Dann habe ich die Ableitung rein gebracht:
[mm] \bruch{1}{2\pi i}\int_{0}^{2\pi}{\bruch{e^{e^{it}}-e^{-e^{it}}}{(e^{it})^n}*ie^{it}dt}
[/mm]
Bis dahin müsste alles richtig sein, oder??
So, jetzt habe ich drei Ideen:
1) Integration durch Substitution
Ich setze dafür [mm] s=\phi(t)=e^{it}, \phi'(t)=ie^{it}
[/mm]
Die neuen Grenzen werden dadurch [mm] \phi(2\pi)=e^{2\pi i}=1
[/mm]
[mm] \phi(e^{0i})=1
[/mm]
und dann ergibt sich also [mm] \bruch{1}{2\pi i}\int_{1}^{1}{\bruch{e^s-e^{-s}}{s^n}ds}=0 [/mm] weil von 1 nach 1 integriert wird.
Diese Lösung erscheint mir jedoch sehr unwahrscheinlich... ist irgendwie "zu einfach"
2) (Idee)
Man muss [mm] e^{it}=sint+icost [/mm] ersetzen (hab das aber noch nicht weiter verfolgt)
3) (Idee)
Man muss irgenwas mit Sinus hyperbolicus machen.
Denn [mm] 2sinh(e^{it})=e^{e^{it}}-e^{-e^{it}}
[/mm]
Wär schön, wenn ihr mir sagen könntet, ob einer meiner Ideen zum Ziel führt
und wenn nicht: wie dann?
VLG, cauchy
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Hier würde es sich anbieten, direkt mit der Laurentreihe zu rechnen und gliedweise zu integrieren:
[mm]\frac{\operatorname{e}^z - \operatorname{e}^{-z}}{z^n} = 2 \sum_{k=0}^{\infty} \frac{z^{2k+1-n}}{(2k+1)!}[/mm]
Jedes Reihenglied außer jenem, das -1 als Exponenten von [mm]z[/mm] hat, besitzt eine Stammfunktion. Bei der Integration über eine geschlossene Kurve fallen diese Summanden weg. Übrig bleibt also nur das Integral mit [mm]z^{-1}[/mm]. Als Wert des Ausdrucks habe ich [mm]\frac{2}{(n-1)!}[/mm] erhalten, falls [mm]n[/mm] positiv und gerade ist. Für alle anderen [mm]n[/mm] ist der Integralwert 0.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:56 So 07.12.2008 | | Autor: | cauchy |
Dankeschön!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:36 Di 02.12.2008 | | Autor: | fred97 |
Man muß fast nichts rechnen ! (ähnlich wie bei Leopoldt_Gast)
Eine weitere Möglichkeit:
Fall 1: [mm] n\le [/mm] 0. Dann ist f(z) : = [mm] \bruch{e^z-e^{-z}}{z^n} [/mm] auf ganz [mm] \IC [/mm] holomorph. Nach dem Cauchyschen Integralsatz ist das Integral
$ [mm] \bruch{1}{2\pi i}\int_{\gamma}{\bruch{e^z-e^{-z}}{z^n}dz} [/mm] $ = 0
Fall 2: n [mm] \ge [/mm] 1. g(z) := [mm] e^z-e^{-z}. [/mm] Nach der Cauchyschen Integralformel für Ableitungen ist das Integral
$ [mm] \bruch{1}{2\pi i}\int_{\gamma}{\bruch{e^z-e^{-z}}{z^n}dz} [/mm] $ = [mm] \bruch{g^{(n-1)}(0)}{(n-1)!} [/mm] = [mm] \bruch{1-(-1)^{n-1}}{(n-1)!}
[/mm]
FRED
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