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| Aufgabe | Es seien D [mm] \subset \IC [/mm] offen, f: D [mm] \to \IC [/mm] holomorph und [mm] \gamma [/mm] ein stückweise glatter geschlossener Weg.
Zeigen Sie:
[mm] \integral_{\gamma}^{}{\overline{f(z)}f'(z) dz} [/mm] ist eine rein imaginäre Zahl. |
Hi,
ich habe wieder eine Aufgabe, bei der mir der Ansatz fehlt. Da der Weg [mm] \gamma [/mm] nicht konkret vorgegeben ist, weiß ich nicht so recht wie ich an dieses Integral ran gehen soll.
Was versteht man unter einem stückweise glatten geschlossenen Weg? Vor allem durch das stückweise ist ja nichts über den gesamten Weg gesagt, oder?
Danke schon mal für eure Hinweise
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Betrachte das Integral [mm]\int_{\delta}~\bar{w}~\mathrm{d}w[/mm] über einen geschlossenen stückweise stetig differenzierbaren Weg [mm]\delta[/mm]. Nimm eine Parametrisierung für [mm]\delta[/mm] mit [mm]p(t),q(t)[/mm] als Real- bzw. Imaginärteil:
[mm]w = p(t) + \operatorname{i} q(t) \, , \ \ t \in [a,b][/mm]
Für den Realteil des Integrals findest du
[mm]\int_a^b~\left( p(t) p'(t) + q(t) q'(t) \right)~\mathrm{d}t[/mm]
Mit Hilfe der Stammfunktion [mm]t \mapsto \frac{1}{2} \left( \left( p(t) \right)^2 + \left( q(t) \right)^2 \right)[/mm] kann das Integral berechnet werden. Beachte, daß [mm]\delta[/mm] ja geschlossen ist.
So kannst du zeigen, daß [mm]\int_{\delta}~\bar{w}~\mathrm{d}w[/mm] rein imaginär ist. Und dein ursprüngliches Problem kannst du mittels der Substitution [mm]w = f(z)[/mm] darauf zurückführen.
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Hi,
danke für den Tipp. Damit ist wirklich leicht zu zeigen gewesen, dass der Realteil des Integrals gleich Null ist.
Allerdings erhalte ich für den Imaginärteil folgendes:
[mm] \integral_{a}^{b}{(p(t)*q'(t)-p'(t)*q(t)) dt}
[/mm]
Als Stammfunktion habe ich folgende Funktion gefunden:
[mm] [p(-t)*q(t)]_{a}^{b}
[/mm]
Da der Weg geschlossen ist, wäre somit auch der Imaginärteil stets gleich Null. Und ich sollte ja zeigen, dass das Integral stets eine reine imaginäre Zahl sein soll.
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Ich wuerde es so machen: [mm] $w-\overline{w}$ [/mm] ist rein imaginaer. Also ist jedes Wegintegral ueber den Integranden $w- [mm] \overline{w}$ [/mm] imaginaer. [mm] $\gamma$ [/mm] Weg, dann ist auch [mm] $f(\gamma)$ [/mm] ein Weg (musst du begruenden). Sodann integrierst du [mm] $\int_{f(\gamma)}w-\overline{w} [/mm] dw$ und substituierst. Da kommen zwei Terme bei raus. Du musst noch zeigen, dass das Wegintegral ueber den ersten Term null ist....
LG Kornfeld
P.S. $f$ holomorph [mm] $\Rightarrow$ $\Rightarrow$ [/mm] $Re(f)$ stetig differenzierbar als [mm] $\IR$-Funktion. [/mm]
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