Was ist zu zeigen ? < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:21 Di 16.12.2008 | | Autor: | Azarazul |
| Aufgabe | Zeigen Sie: Für die Funktion
[mm] u(x):= \begin{cases} e^{-1/x^2} & \mbox{für } \mbox{ 0
[mm] v_\varepsilon (x):= \bruch{u(x)}{u(x)+u(\varepsilon-x)} [/mm]
[mm] w_{\varepsilon, r} (x):= 1- v_\varepsilon(|x|-r) [/mm]
gilt:
[mm] w_{\varepsilon, r} (x) = \begin{cases} 0 & \mbox{für } 0 \not\in [-r-\varepsilon, r+ \varepsilon] \mbox{ } \\ 1 & \mbox{ für} x \in [-r,r] \mbox{ } \end{cases} [/mm] |
Hi Leute,
ich weiß noch nicht, wo das Problem bei dieser Aufgabe ist.
reicht nicht schon folgender Ansatz ?
Zunächst ist der rechtsseitige Grenzwert von u gleich 0, d.h. u ist stetig (klar - ist ja diff'bar) $$ [mm] \limes_{x \rightarrow 0^-} [/mm] u(x) = 0 $$.
Wenn ich jetzt [mm] $v_\varepsilon [/mm] $ in $ [mm] w_{\varepsilon, r} [/mm] $ einsetze, erhalte ich:
$$ [mm] w_{\varepsilon, r}(x) [/mm] = [mm] \bruch{u(\varepsilon+r- |x|)}{u(|x|+r)+u(\varepsilon + r - |x|) } [/mm] $$
hierran "sehe" ich aber sofort, dass das obige (was nicht angezeigt wird) gelten muss ...
Was muss ich hier also tun ???
Sieht jemand gerade mal den Fehler in meinem TeX da oben, ich sehe ihn nicht !? Der Fehler ist ganz mysteriös "nooutput " .... Ich hätt gerne Syntaxhighlighting ...
Vielen Dank !
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Hallo James,
ich habe mich erst einmal darauf beschränkt, den
Aufgaben-TeXt zu flicken. Offenbar klappt es nicht,
wenn man Formelteile in mboxes setzt !
LG
| Aufgabe | Zeigen Sie: Für die Funktion
[mm] u(x):= \begin{cases} e^{-1/x^2} & \mbox{für } \mbox{ 0
sowie die beiden Funktionenscharen
[mm] v_\varepsilon (x):= \bruch{u(x)}{u(x)+u(\varepsilon-x)} [/mm]
[mm] w_{\varepsilon, r} (x):= 1- v_\varepsilon(|x|-r) [/mm]
gilt:
[mm]\ w_{\varepsilon, r} (x) = \begin{cases} 0 & \mbox{für } 0 \not\in [-r-\varepsilon, r+ \varepsilon] \\ 1 & \mbox{für } x \in [-r,r] \end{cases} [/mm] |
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:19 Di 16.12.2008 | | Autor: | Blech |
> ich weiß noch nicht, wo das Problem bei dieser Aufgabe
> ist.
Ich nehm mal an Gehirnverknotung.
Ist irgendwo angegeben, daß [mm] $\varepsilon>0$? [/mm] Das bräuchte man noch.
> reicht nicht schon folgender Ansatz ?
>
> Zunächst ist der rechtsseitige Grenzwert von u gleich 0,
> d.h. u ist stetig (klar - ist ja diff'bar) [mm]\limes_{x \rightarrow 0^-} u(x) = 0 [/mm].
Du könntest noch zeigen, daß w für [mm] $x\in\IR$ [/mm] wohldefiniert ist. Wobei gemäß Aufgabenstellung ja uns das nicht interessieren müßte. Die Stetigkeit von u wird ja eigentlich auch als Fakt dargestellt, nicht als etwas, das man zeigen soll.
> Wenn ich jetzt [mm]v_\varepsilon[/mm] in [mm]w_{\varepsilon, r}[/mm]
> einsetze, erhalte ich:
> [mm]w_{\varepsilon, r}(x) = \bruch{u(\varepsilon+r- |x|)}{u(|x|+r)+u(\varepsilon + r - |x|) } [/mm]
>
> hierran "sehe" ich aber sofort, dass das obige (was nicht
> angezeigt wird) gelten muss ...
> Was muss ich hier also tun ???
Einsetzen, um zu zeigen, daß es auch ganz sicher gilt?
Ka, Deine Lösung stimmt.
ciao
Stefan
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Hi,
@ Chwarizmi: Danke für die Reparatur - die Begründung macht allerdings wenig Sinn, denn es werden bei der cases Vorgabe mboxes benutzt, außerdem klappte es bei der Fallunterscheidung dadrüber .... (however ...)
@Stefan:
Danke und ja es ist wahr, epsilon und r sind beide größer 0, das hatte ich vergessen, tut mir leid. Gibt es ansonsten noch was zu zeigen ?
Das Thema um das bei den hausaufgaben ging, waren die Jets (Taylorreihen) von Funktionen - nun ist die Funktion u(x) ja bekanntermaßen eine, bei denen Taylor nicht so richtig gut kommt, d.h. ich würde hier gar nicht auf die Idee kommen, das hier auszuprobieren, wenn es einfacher geht.
P.S. was genau heißt "wohldefiniert" ? Ich nehme mal an, dass es meint, dass die Funktion oder was auch immer, wenn sie diese Eigenschaft besitzt, sich so verhält, wie ich es erwarten würde.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:50 Di 16.12.2008 | | Autor: | Blech |
> P.S. was genau heißt "wohldefiniert" ? Ich nehme mal an,
> dass es meint, dass die Funktion oder was auch immer, wenn
> sie diese Eigenschaft besitzt, sich so verhält, wie ich es
> erwarten würde.
Hier meinte ich eigentlich nur, daß der Nenner von v nicht 0 werden kann. (wie ich schon geschrieben hatte, ist das eigentlich nicht Teil der Aufgabe; es wird nichtmal wirklich erwähnt, welchen Definitionsbereich v haben soll)
Eine Funktion weist jedem Wert ihres Definitionsbereichs genau einen Wert ihres Wertebereichs zu. Sie ist wohldefiniert, wenn ihre Definition sicherstellt, daß das erfüllt ist.
Nicht wohldefiniert wären:
1. $f:\ [mm] \IR\to\IR;\ x\mapsto \frac{1}{x}$
[/mm]
Klar, Definitionsbereich stimmt nicht
2. Selbes Spielchen für Wertebereich
3. $f:\ [mm] \IQ\to\IZ;\ \frac{q}{p}\mapsto [/mm] q$
[mm] $\frac12=\frac{2}{4}$, [/mm] aber [mm] $f(\frac12)\neq f(\frac{2}{4})$
[/mm]
Hier ist die Repräsentantenunabhängigkeit verletzt.
ciao
Stefan
P.S.: Ich lasse es auf halb-beantwortet. Vielleicht hat noch jemand eine Idee, was hier gewünscht sein könnte.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:11 Di 16.12.2008 | | Autor: | Azarazul |
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> > P.S. was genau heißt "wohldefiniert" ? Ich nehme mal an,
> > dass es meint, dass die Funktion oder was auch immer, wenn
> > sie diese Eigenschaft besitzt, sich so verhält, wie ich es
> > erwarten würde.
>
> Hier meinte ich eigentlich nur, daß der Nenner von v nicht
> 0 werden kann. (wie ich schon geschrieben hatte, ist das
> eigentlich nicht Teil der Aufgabe; es wird nichtmal
> wirklich erwähnt, welchen Definitionsbereich v haben soll)
>
> Eine Funktion weist jedem Wert ihres Definitionsbereichs
> genau einen Wert ihres Wertebereichs zu. Sie ist
> wohldefiniert, wenn ihre Definition sicherstellt, daß das
> erfüllt ist.
Der nenner von v kann nicht null werden. Es ist immer einer von beiden summanden im nenner echt größer null !
> Nicht wohldefiniert wären:
> 1. [mm]f:\ \IR\to\IR;\ x\mapsto \frac{1}{x}[/mm]
> Klar,
> Definitionsbereich stimmt nicht
>
> 2. Selbes Spielchen für Wertebereich
>
> 3. [mm]f:\ \IQ\to\IZ;\ \frac{q}{p}\mapsto q[/mm]
>
> [mm]\frac12=\frac{2}{4}[/mm], aber [mm]f(\frac12)\neq f(\frac{2}{4})[/mm]
>
> Hier ist die Repräsentantenunabhängigkeit verletzt.
>
> ciao
> Stefan
Ah ok ! Vielen dank - ich hatte das schon des öfteren gelesen.
> P.S.: Ich lasse es auf halb-beantwortet. Vielleicht hat
> noch jemand eine Idee, was hier gewünscht sein könnte.
Geht klar.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Do 18.12.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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