Was ist ein Normalbereich < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Wir haben Flächenintegrale (Doppelintegrale) über Rechtecke behandelt. Nun geht es um Flächenintegrale über Normalbereiche. Was ist aber ein Normalbereich? |
Ich verstehe die folgende Definition nicht ganz:
B heißt Normalbereich bzgl. x, falls
[mm] B=\{ \vektor{x \\ y}|a\le x\le b, g(x)\le y\le h(x)\}
[/mm]
mit stetigen Funktionen g, [mm] h:[a,b]\to\IR, g(x)\le [/mm] h(x) für alle x.
Dann gilt für das Flächenitnegral:
[mm] \integral \integral_{B}{f(x,y) d(x,y)}=\integral_{a}^{b} (\integral_{g(x)}^{h(x)}{f(x,y)dy)dx}
[/mm]
Ich habe aber nicht verstanden was ein Normalbereich ist.
Auf Wikipedia steht:
"Ein schlichtes Gebiet, Normalbereich oder Normalgebiet ist ein mathematisches Objekt aus der Analysis. Es handelt sich um ein für die Integralrechnung einfach zu handhabendes Gebiet."
Sind damit Kreise, Dreiecke etc gemeint?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:05 Mi 14.10.2015 | | Autor: | fred97 |
Du hast also 2 Funktionen
$g, [mm] h:[a,b]\to\IR$ [/mm] mit [mm] $g(x)\le [/mm] h(x)$ für alle $x [mm] \in [/mm] [a,b]$.
So, nun mach von dieser Situation eine Zeichnung. Dann schraffierst Du über dem Intervall [a,b] alle Punkte, die zwischen den Graphen von g und h liegen.
Das ist die Menge B.
FRED
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gilt hier
[mm] \integral \integral_{B}{f(x,y) d(x,y)}=\integral_{a}^{b} (\integral_{g(x)}^{h(x)}{f(x,y)dy)dx}=\integral_{g(x)}^{h(x)} (\integral_{a}^{b}{f(x,y)dx)dy}
[/mm]
also ist es egal ob ich zuerst nach x und dann nach y integriere?
Was genau heißt Normalbereich bezüglich x?
heißt das ich habe für x ein konstantes intervall und für y hängt es von Funktionen ab?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:03 Mi 14.10.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
nein du kannst die Reihenfolge nicht vertauschen! im ersten Fall solltest du sehen dass das Ergebnis eine Zahl ist, im 2 ten all wäre es a falsch, und b) etwas von x abhängiges
2. wenn du in der Def des Normalbereichs x und y austauschst, dann hast du ein NB bezüglich y
dann sind die Grenzen durch Funktionen für y und die Seiten y=a, y=b gegeben.
ein Rechteck ist Normalbereich bezüglich x und y. ein normalbereich bez. x liegt immer in einem Streifen zwischen x=a und x=b, du kannst es also in Streifen der Breite dx zerschneiden die Höhen der Streifen sind dann durch| f(x)-g(x)| an den entsprechenden Stelen gegeben
zeichne doch mal so ein Bereich auf und überlege, wann und wie du die Integrationsreihenfolge verändern kannst.
Gruß ledum
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> wenn du in der Def des Normalbereichs x und y
> austauschst, dann hast du ein NB bezüglich y
> dann sind die Grenzen durch Funktionen für y und die
> Seiten y=a, y=b gegeben.
Das heißt B heißt normalbereich bezüglich y, falls
[mm] B=\{ \vektor{x \\ y}|a\le y\le b, g(y)\le x\le h(y)\}
[/mm]
mit stetigen Funktionen g, [mm] h:[a,b]\to\IR, g(y)\le [/mm] h(y) für alle y.
Dann gilt für das Flächenitnegral:
[mm] \integral \integral_{B}{f(x,y) d(x,y)}=\integral_{a}^{b} (\integral_{g(y)}^{h(y)}{f(x,y)dx)dy}
[/mm]
Falls das falsch ist, dann bitte bescheid sagen
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:59 Do 15.10.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
richtig
Gruß leduart
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