Was ist die Gruppe A4? < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
ich bin neu hier und habe folgende Frage: was ist die Gruppe A4?
Wahrscheinlich ist das eine ziemlich einfache Frage für euch, aber ich wäre trotzdem sehr dankbar, wenn mir das jemand erklären könnte. Ich weiß aus welchen Elementen sie besteht, nämlich: A4={(), (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243), (12) (34), (13), (24), (14) (23)} Ich habe schon überall gesucht, aber nichts gefunden, was mir weiterhelfen könnte. Ich habe gelesen, dass das irgendwas mit Permutationen von den Zahlen 1 bis 4 zu tun hat. Aber trotzdem komme ich nicht drauf.
Vielen Dank und schöne Grüße,
Nicole
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Hallo.
Wenn ich recht verstehe, geht es hier ja um Permutationen.
Dann ist mit [mm] $A_4$ [/mm] die alternierende Gruppe vom Grad 4 gemeint.
Das hilft jetzt, denke ich, überhaupt nicht weiter. Deswegen erstmal ein paar andere Dinge (wenn Du die schon wissen solltest, kannst Du sie ja einfach überlesen):
Eine Permutation ist eine bijektive Abbildung einer Menge, sagen wir {1,...,n}, in sich, d.h. wiederum nach {1,...,n}.
Wie schreiben wir nun Permutationen auf?
Da gibt es beispielsweise einmal die Schreibweise:
[mm] $\pi=\pmat{1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 2 & 4}$
[/mm]
(Diese meint, daß das Element 1 auf 3 abgebildet wird, 2 auf 1, 3 auf 2 und 4 auf 4 abgeblidet wird.
Dann gibt es noch die sog. Zykelschreibweise, für unsere Beispielpermutation [mm] $\pi$ [/mm] wäre diese: [mm] $\pi=(132)(4)=(132)$
[/mm]
(Zykel mit nur einem Element kann man in der Schreibweise weglassen).
Die symmetrische Gruppe vom Grad n ist die Menge aller Permutationen der Menge {1,...,n}.
Sie wird meistens mit dem Symbol [mm] $\Sigma_n$ [/mm] bezeichnet.
Zum Beispiel ist [mm] $\Sigma_3=\{id,(12),(13),(23),(123),(132) \}$
[/mm]
Transpositionen sind Permutationen der Form $(ab)$ mit [mm] $a\not=b$, [/mm] diese Permutationen tun also nichts anderes, als die Elemente a und b zu vertauschen.
Man kann jede beliebige Permutation als Produkt von Transpositionen schreiben. wenn z.B. [mm] $\pi=(132)$ [/mm] eine Permutation aus [mm] $\Sigma_3$ [/mm] ist, so gilt: [mm] $\pi=(132)=(13)(12)$.
[/mm]
Das Vorzeichen einer Permutation ist wie folgt definiert:
[mm] $sgn(\pi):=\prod_{i
Nach etwas Rechnerei bemerkt man, daß auch [mm] $sgn(\pi)=(-1)^{a(\pi)}$ [/mm] gilt, wobei [mm] $a(\pi)$ [/mm] die Anzahl der Permutationen meint, mit denen man [mm] $\pi$ [/mm] schreben kann.
Jetzt ist ganz offensichtlich, daß das Signum genau das ist, was wir wollen, nämlich 1 oder -1.
Um bei unserem Beispiel [mm] $\pi=(132)=(13)(12)$ [/mm] zu bleiben, hier gilt natürlich [mm] $sgn(\pi)=1$.
[/mm]
Schlußendlich: Die Alternierende Gruppe [mm] $A_n$ [/mm] ist die Menge aller Permutationen aus [mm] $\Sigma_n$ [/mm] mit positivem Vorzeichen, also
[mm] $A_n:= \{\sigma \in \Sigma_n | sgn(\sigma)=1 \}$.
[/mm]
Es ist also eigentlich ganz einfach.
Beispielsweise ist ja dann [mm] $A_3=\{id,(123),(132) \}$,
[/mm]
[mm] $A_4$ [/mm] hast Du ja selbst schon aufgeschrieben.
Daß [mm] $A_n$ [/mm] tatsächlich eine Gruppe ist, kann man sich ja leicht überlegen.
Ich hoffe, es sind keine größeren Fragen offen geblieben, wenn nicht, kannst Du ja einfach nochmal nachfragen,
Gruß,
Christian
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Hallo Christian,
erst einmal vielen Dank für deine ausführliche Antwort!
Leider habe ich das mit dem Vorzeichen einer Permutation fürchte ich noch nicht ganz verstanden. Also das Vorzeichen ist entweder -1 oder 1, ok. Aber dafür brauche ich die Anzahl der Permutationen mit denen ich [mm] \pi [/mm] schreiben kann. Wie komme ich darauf?
Auf einer anderen Seite, habe ich jetzt eine Erklärung gefunden, auf der steht, dass das Vorzeichen einer Permutation positiv (=1) ist, wenn die Inversionszahl positiv ist. Wobei die Inversionszahl aussagt, wie viele Zahlen in der "falschen Reihenfolge" stehen. Z.B. die Permutation (1423) hätte die Inversionszahl 2, weil die 4 vor der 2 und die 4 vor der 3 steht. Damit hätte diese Permutation das Vorzeichen 1. Aber das würde dann ja heißen, wenn ich es richtig verstanden habe, dass (1234) [mm] \in [/mm] A4 ist. Aber das ist ja nunmal falsch ...
wie du siehst ist Mathe nicht so mein Fall.
Gruß,
Nicole
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:29 Do 17.03.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Deine Erklärung ist soweit richtig, nur die Schlussfolgerung nicht. 
Wie lautet denn [mm] $\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4}$ [/mm] in Abbildungsschreibweise (und auf die kommt es bei der Bestimmung des Signums an, jedenfalls dann, wenn man es mit Fehlständen macht!)?
Genau, so wie folgt:
[mm] $\pmat{1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1}$.
[/mm]
Jetzt schaust du in die zweite Zeile und entdeckst drei Fehlstände: $(2,1)$, $(3,1)$ und $(4,1)$.
Daher gilt: [mm] $\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4} \notin A_4$.
[/mm]
Alternativ kannst du auch versuchen [mm] $\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4}$ [/mm] als Produkt von Transpositionen zu schreiben:
[mm] $\pmat{1 & 2 & 3 & 4} [/mm] = [mm] \pmat{2 & 3}\pmat{3 & 4}\pmat{1 & 4}$.
[/mm]
Wie du siehst, erhält man eine ungerade Anzahl von Transpositionen, was ebenfalls [mm] $\pmat{1 & 2 & 3 & 4} \notin A_4$ [/mm] bedeutet. 
Liebe Grüße
Julius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:57 Do 17.03.2005 | | Autor: | Nicole123 |
Ah, jetzt hab ichs verstanden. Vielen Dank!
Nicole
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