Was ist Pfaffsche Form? < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich erarbeite mir gerade die Analysis 3 nach Forster und stehe nun bei $18 Pfaffsche Formen und Kurvenintegrale.
Ich habe Probleme mir vorzustellen, was eine Pfaffsche Form überhaupt sein kann.
Daher meine Frage: Ist folgendes Beispiel Korrekt?
Definition nach Königsberger Analysis 2:
Unter P.F. auf einer offenen Menge U [mm] \subset \IR [/mm] versteht man eine Abbildung:
[mm] \omega [/mm] : U [mm] \rightarrow L(\IR^{n}, \IC)
[/mm]
Anschauungs-Versuche:
u [mm] \in [/mm] U
U = ]-100, 100[ [mm] \subset \IR
[/mm]
[mm] \omega(u) [/mm] := 3u + 1 [mm] \in L(\IR^{1}, \IC)
[/mm]
Das kann so schon nicht stimmen oder? Denn [mm] \omega(1) [/mm] ist ja dann keine Abbildung mehr sondern schon der Wert der Abbildung - in diesem Fall 3*1+1.
Also eher:
[mm] \omega(u) [/mm] := [mm] f_u(x)
[/mm]
und [mm] f_u(x) [/mm] := 3x + u
Aber ist das nicht auch falsch? Denn dieses [mm] f_u(x) [/mm] ist doch nur eine andere Schreibweise für f(x, u) = 3x + u und somit wäre die Funktion f dann aus [mm] L(\IR^{2}, \IC) [/mm] und nicht mehr aus [mm] L(\IR^{1}, \IC) [/mm] was ja aber sein muss, da U [mm] \subset \IR^{1}.
[/mm]
Was mache ich Falsch? Ich krieg kein stimmies Beispiel hin.
Vielen Dank im Voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:35 Mo 18.04.2011 | | Autor: | SEcki |
> Ich habe Probleme mir vorzustellen, was eine Pfaffsche Form
> überhaupt sein kann.
In der Wikipedia gibt es physikalische Anwendungen, vielleicht helfen diese dir ja.
> Anschauungs-Versuche:
> u [mm]\in[/mm] U
> U = ]-100, 100[ [mm]\subset \IR[/mm]
> [mm]\omega(u)[/mm] := 3u + 1 [mm]\in L(\IR^{1}, \IC)[/mm]
Nö, du willst Funktionen haben, stimmt also nicht.
> Also eher:
> [mm]\omega(u)[/mm] := [mm]f_u(x)[/mm]
Kuddelmuddel für wahr. Eher: [mm]\omega(u)=(x\mapsto f_u(x))[/mm]. Du machst den gleichen Fehler wie oben, nur noch schlimmer, da wir nicht wissen, was x ist.
> und [mm]f_u(x)[/mm] := 3x + u
> Aber ist das nicht auch falsch? Denn dieses [mm]f_u(x)[/mm] ist
> doch nur eine andere Schreibweise für f(x, u) = 3x + u und
> somit wäre die Funktion f dann aus [mm]L(\IR^{2}, \IC)[/mm] und
> nicht mehr aus [mm]L(\IR^{1}, \IC)[/mm] was ja aber sein muss, da U
> [mm]\subset \IR^{1}.[/mm]
Nö. Zu allererst - deine Funktionen sind, außer für [mm]u=0[/mm] schonmal alle nicht linear, also gar nicht in dem Raum. Zweitens ist der Definitionsbereich für dein [mm]u[/mm] kleiner als die ganze Gerade. Außerdem sind deine Wahlen genau so, dass man es - mit extrem viel gutem Willen - als [mm]L(\IR^{2}, \IC)[/mm] interpretieren kann, das hast du dir im Zweifel selber zuzubrocken.
Was in deinem Fall alles erschlägt: Sei [mm]h:U\mapsto \IC[/mm] eine beliebige (!) Funktion. Dann erhälst du eine Pfaffsche Form per [mm]U\to L(\IR^{1}, \IC),u\mapsto (x \mapsto h(u)\cdot x)[/mm]. Wähle als Funktion [m]h[/m] zB die charakteristische Funktion der rationalen Zahlen. Yiekes!
SEcki
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Vielen Dank erstmal - ich lag also wie vermutet bisher falsch.
Um dein Beispiel aufzugreifen:
> Sei [mm]h:U\mapsto \IC[/mm] eine beliebige (!) Funktion. Dann erhälst du eine
> Pfaffsche Form per [mm]U\to L(\IR^{1}, \IC),u\mapsto (x \mapsto h(u)\cdot x)[/mm].
> Wähle als Funktion [m]h[/m] zB die charakteristische Funktion der
> rationalen Zahlen.
Neuer Versuch:
Angenommen ich wähle wieder [mm] U := ]-100, 100[, u \in U [/mm]
[mm] h: U \to \IR, u \mapsto u^2 + 1 [/mm]
Dann wäre folgende Abb. [mm] \omega [/mm] eine Pfaffsche Form?
[mm] \omega: U \to L(\IR, \IR) [/mm]
[mm] u \mapsto (x \mapsto h(u) \cdot x) [/mm]
Und somit wäre dann zB
[mm] \omega(2) = (x \mapsto 5 \cdot x) [/mm]
[mm] \omega(3) = (x \mapsto 10 \cdot x)[/mm]
... usw.
Ist das so korrekt? (Mal abgesehen davon, dass ich noch keinen Sinn darin erkenne einem Punkt aus [mm] U \subset \IR^n [/mm] eine lineare Abbildung zuzuordnen, die alle Werte von [mm] \IR^n [/mm] nach [mm] \IC [/mm] abbildet.)
> In der Wikipedia gibt es physikalische Anwendungen
Ich komme aus der Informatik und habe daher 0 Bezug zu Thermodynamik, Kraftfeldern, Strömungsdynamik oder Gravitation.. evtl. fällt es mir daher auch besonders schwer und wahrscheinlich ist deshalb Analysis 3 auch keine Pflichtveranstaltung für uns. Ich hab sie halt als Teil meines Ergänzungsfachs Mathematik gewählt..
Mein Versuch das 1te Beispiel zu verstehen:
http://de.wikipedia.org/wiki/Pfaffsche_Form#Erstes_Beispiel_.E2.80.9EKraftfeld.E2.80.9C
Der Gegenstand auf den das Kraffeld wirkt ist vermutlich meine Teilmenge [mm]U \subset \IR^n[/mm]?
Und die Kraft "an jedem Ort" drückt aus, was für eine Kraft wirkt, wenn sich der Gegenstand an genau diesem Punkt befindet? (Was von dem Objekt denn - dessen Mittelpunkt/Schwerpunkt?) Oder drückt dies aus, was an dem jeweiligen Punkt des Objektes für eine Kraft wirkt? Aber wieso steht dann bei Wiki "[mm]r \in \IR^3[/mm]" und nicht "[mm]r \in U[/mm]"?
Ist meine Anschauung von folgendem Korrekt:
"In einem konservativen Kraftfeld ist die Größe W der geleisteten Arbeit wegunabhängig."
Das erinnert mich an Physikunterricht wo es hieß:
"Ob man einen Berg direkt erklimmt (viel Kraft - wenig Weg) oder in Schlangenlinien (weniger Kraft - viel Weg) ist für die Menge der verrichteten Arbeit unerheblich." (Ohne Verluste natürlich)
Und kann man folgendes so verstehen:
"Eine konservative Kraft leistet auf einem geschlossenen Weg keine Arbeit."
Dh zB ein Wasser-Fluß der entlang des Äquators ohne Reibung einmal in Bewegung versetzt immer im Kreis fließt verrichtet keine Arbeit weil keine Kraft wirkt? Es ist ja quasi eine geradlinig-gleichförmige Bewegung.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:08 Mi 20.04.2011 | | Autor: | SEcki |
> Ist das so korrekt?
Ja.
> (Mal abgesehen davon, dass ich noch
> keinen Sinn darin erkenne einem Punkt aus [mm]U \subset \IR^n[/mm]
> eine lineare Abbildung zuzuordnen, die alle Werte von [mm]\IR^n[/mm]
> nach [mm]\IC[/mm] abbildet.)
Per se ist es eine Definition. Warum es sich lohnen könnte das ganze zu erforschen, wird durch diese physikalischen Anwendungen erbracht - sie sind nur Motivation. Mit diesen Formen kann man dann mathematisch auf Mannigfaltigkeiten wieder andere Sachen machen.
> Der Gegenstand auf den das Kraffeld wirkt ist vermutlich
> meine Teilmenge [mm]U \subset \IR^n[/mm]?
Versteh ich nicht.
> Und die Kraft "an jedem
> Ort" drückt aus, was für eine Kraft wirkt, wenn sich der
> Gegenstand an genau diesem Punkt befindet?
Ich denke, das soll so sein.
> (Was von dem
> Objekt denn - dessen Mittelpunkt/Schwerpunkt?)
Das Objekt ist genau ein Punkt - nichts Mittelpunkt oder Schwerpunkt.
> Oder drückt
> dies aus, was an dem jeweiligen Punkt des Objektes für
> eine Kraft wirkt? Aber wieso steht dann bei Wiki "[mm]r \in \IR^3[/mm]"
> und nicht "[mm]r \in U[/mm]"?
Für [m]U=\IR^3[/m] gilt dies ja ... etwas flexibel sollte man schon sein ...
> Ist meine Anschauung von folgendem Korrekt:
> "In einem konservativen Kraftfeld ist die Größe W der
> geleisteten Arbeit wegunabhängig."
> Das erinnert mich an Physikunterricht wo es hieß:
> "Ob man einen Berg direkt erklimmt (viel Kraft - wenig
> Weg) oder in Schlangenlinien (weniger Kraft - viel Weg) ist
> für die Menge der verrichteten Arbeit unerheblich." (Ohne
> Verluste natürlich)
Ja. Diese Pfaffschen Formen beschreiben eben auch dieses physikalische Phänomen.
Hier geht es wirklich um Anschauung und den Erwerb von Intuition - nicht von mathematisch korrekten Beweis von Theoremen.
SEcki
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:49 Mo 18.04.2011 | | Autor: | gfm |
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo,
>
> ich erarbeite mir gerade die Analysis 3 nach Forster und
> stehe nun bei $18 Pfaffsche Formen und Kurvenintegrale.
>
> Ich habe Probleme mir vorzustellen, was eine Pfaffsche Form
> überhaupt sein kann.
>
> Daher meine Frage: Ist folgendes Beispiel Korrekt?
>
> Definition nach Königsberger Analysis 2:
> Unter P.F. auf einer offenen Menge U [mm]\subset \IR[/mm] versteht
> man eine Abbildung:
> [mm]\omega[/mm] : U [mm]\rightarrow L(\IR^{n}, \IC)[/mm]
>
> Anschauungs-Versuche:
> u [mm]\in[/mm] U
> U = ]-100, 100[ [mm]\subset \IR[/mm]
> [mm]\omega(u)[/mm] := 3u + 1 [mm]\in L(\IR^{1}, \IC)[/mm]
>
> Das kann so schon nicht stimmen oder? Denn [mm]\omega(1)[/mm] ist ja
> dann keine Abbildung mehr sondern schon der Wert der
> Abbildung - in diesem Fall 3*1+1.
>
> Also eher:
> [mm]\omega(u)[/mm] := [mm]f_u(x)[/mm]
> und [mm]f_u(x)[/mm] := 3x + u
> Aber ist das nicht auch falsch? Denn dieses [mm]f_u(x)[/mm] ist
> doch nur eine andere Schreibweise für f(x, u) = 3x + u und
> somit wäre die Funktion f dann aus [mm]L(\IR^{2}, \IC)[/mm] und
> nicht mehr aus [mm]L(\IR^{1}, \IC)[/mm] was ja aber sein muss, da U
> [mm]\subset \IR^{1}.[/mm]
>
> Was mache ich Falsch? Ich krieg kein stimmies Beispiel
> hin.
> Vielen Dank im Voraus!
Eine Pfaffsche Form ordnet jedem [mm] u\inU [/mm] eine Linearform [mm] \omega(u):\IR^n\to\R [/mm] zu und die wiederum bildet [mm] x\in\IR^n [/mm] linear nach [mm] \IR [/mm] ab.
[mm] u\mapsto\omega(u):\IR^n\to\IR; \omega(u)=\summe_{i=1}^nf_i(u)*(dx_i|_u)
[/mm]
Die [mm] (dx_i|_u) [/mm] sollen die Einheitsvektoren im Raum der Linearformen sein. Das [mm] |_u [/mm] weist darauf hin, dass die Darstellung von u abhängt und die suggestive Schreibweise als Differential reflektiert das Verhalten bei einer Koordinatentransformation.
Pfaffsche Formen treten in natürlicher Weise bei Wegintegralen auf (Stichwort Arbeit im Kraftfeld oder auch thermodynamische Potenziale)
Im Falle n=1 ist die Linearform einfach das Multiplizieren mit einer von u abhängigen Zahl.
LG
gfm
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