www.vorkurse.de
Ein Projekt von vorhilfe.de
Die Online-Kurse der Vorhilfe

E-Learning leicht gemacht.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Teams · Forum · Wissen · Kurse · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe-Vorkurse
  Status Organisatorisches
  Status Schule
    Status Wiederholung Algebra
    Status Einführung Analysis
    Status Einführung Analytisc
    Status VK 21: Mathematik 6.
    Status VK 37: Kurvendiskussionen
    Status VK Abivorbereitungen
  Status Universität
    Status Lerngruppe LinAlg
    Status VK 13 Analysis I FH
    Status Algebra 2006
    Status VK 22: Algebra 2007
    Status GruMiHH 06
    Status VK 58: Algebra 1
    Status VK 59: Lineare Algebra
    Status VK 60: Analysis
    Status Wahrscheinlichkeitst

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Was genau passiert hier?
Was genau passiert hier? < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Matrizen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Was genau passiert hier?: Zusammenhang zwischen Matrizen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:50 Do 06.10.2011
Autor: Drno

Aufgabe
Die Matrizen sind alle Rotationsmatrizen (3x3):
Gegeben R (beliebige Rotation)
Gesucht [mm] R_z [/mm] (Rotationsmatix um z-Achse)
Unbekannt: [mm] R_a [/mm] (beliebige Rotation)

R = [mm] R_a*R_z *R_a' [/mm]

Nun nehme ich die den Eigenvektor zum Eigenwert 1 der Matrix R, [mm] R_{a3} [/mm] (ich kann zeigen, dass dies auch die dritte Spalte von [mm] R_a [/mm] ist). Zu dieser Matrix baue ich mir eine Rotationsmatrix der Form

[mm] R_b [/mm] = [mm] [\vec{x}, \vec{y}, R_{a3}], [/mm]

wobei [mm] \vec{x} [/mm] und [mm] \vec{y} [/mm] zwei beliebige Einheitsvektoren die mit [mm] R_{a3} [/mm] ein Rechtssystem bilden, sind.

Nun kommt:

[mm] R_z [/mm] = [mm] R_b'*R*R_b [/mm]



Meine Frage ist recht einfach:
Warum ist das so?

Ich bin eher durch Zufall auf diesen Zusammenhang gestoßen und würde gerne wissen, warum das so ist. Warum kann ich mein [mm] R_z [/mm] aus der Matrix R extrahieren ohne Wissen über die From von [mm] R_a [/mm] zu haben.

Ist es dann sogar möglich die Matrix [mm] R_a [/mm] zu bestimmen?
Schließlich kenne ich bereits die dritte Spalte [mm] R_{a3}. [/mm]

Für Hilfe wäre ich wirklich dankbar.

Wer es in Matlab ausprobieren will:
c1 = cos(1); s1 = sin(1);
c2 = cos(1.2); s2 = sin(1.2);
c3 = cos(0.3); s3 = sin(0.3);
R1 = [c1 -s1 0; s1 c1 0; 0 0 1];
R2 = [c2 0 s2; 0 1 0; -s2 0 c2];
R3 = [1 0 0; 0 c3 -s3; 0 s3 c3];
Ra = R1*R2*R3;
c1 = cos(0.5); s1 = sin(0.5);
Rz = [c1 s1 0; -s1 c1 0; 0 0 1]
R = Ra*Rz*Ra';
e = Ra(:,3);
ex = [1,1,-(e(1)+e(2))/e(3)]';
ex = ex/norm(ex);
Rb = [cross(ex, e), ex, e];
Rb'*R*Rb


        
Bezug
Was genau passiert hier?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:19 Sa 08.10.2011
Autor: ullim

Hi,

die Matrix [mm] R_a [/mm] ist ja definiert als

[mm] R_a=R_1*R_2*R_3 [/mm]

die Matrix R durch

[mm] R=R_a^T*R_z*R_a [/mm]

und die Matrix [mm] R_b [/mm] durch

[mm] R_b=\pmat{ e_x \times e & e_x & e } [/mm] mit [mm] e_x*e=0 [/mm]

Bezeichnet man die Spalten der Matrix [mm] R_a [/mm] mit x, y und e dann gilt [mm] R_a=\pmat{ x & y & e } [/mm] und x, y und e stehen senkrecht aufeinander da [mm] R_a [/mm] orthogonal ist.

Wegen [mm] R_a^T*R_b=\pmat{ x^T*(e_x \times e) & x^T*e_x & x^T*e \\ y^T*(e_x \times e) & y^T*e_x & y^T*e \\ e^T*(e_x \times e) & e^T*e_x & e^T*e } [/mm] sowie

[mm] e^T*(e_x \times [/mm] e)=0
[mm] e^T*e_x=0 [/mm]
[mm] e^T*e=1 [/mm]
[mm] x^T*e=0 [/mm]
[mm] y^T*e=0 [/mm]

und der Tatsache das [mm] R_a^T*R_b [/mm] eine orthogonale Matrix ist, ist [mm] R_a^T*R_b [/mm] eine Drehung um die z-Achse und ich bezeichne sie mit [mm] S_z, [/mm] also gilt

[mm] R_a^T*R_b=S_z [/mm]

Jetzt kann man alles einsetzen und erhält für [mm] R_b^T*R*R_b^T [/mm] den Ausdruck

[mm] R_b^T*R*R_b^T=S_z^T*R_a^T*R*R_a*S_z=S_z^T*R_a^T*R_a*R_z*R_a^T*R_a*S_z=S_z^T*R_z*S_z=R_z [/mm]





Bezug
                
Bezug
Was genau passiert hier?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:16 So 09.10.2011
Autor: Drno

Vielen Dank, das hilft mir wirklich weiter.
Man kann jetzt auch gut sehen, dass man das Ra nicht eindeutig bestimmen kann. Es wird immer eine Rotation übrig bleiben.

Bezug
                        
Bezug
Was genau passiert hier?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:54 So 09.10.2011
Autor: ullim

Hi,

das hängt wahrscheinlich damit zusammen, das die Vektoren, die senkrecht zu [mm] \overrightarrow{e} [/mm] gewählt wurden [mm] e_x [/mm] und [mm] \left(e_x \times e\right) [/mm] nicht eindeutig sind, sondern in der Ebene senkrecht zu [mm] \overrightarrow{e} [/mm] noch gedreht werden können.



Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Matrizen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorkurse.de
[ Startseite | Mitglieder | Teams | Forum | Wissen | Kurse | Impressum ]