Warum ist ein Halbraum konvex? < axiomatisch < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:59 Mo 02.03.2009 | | Autor: | barsch |
| Aufgabe | | Halbraum ist konvex. |
Hi,
ich versuche mir gerade zu verdeutlichen, warum ein Halbraum konvex ist. Dabei stehen mir im Skript folgende Definitionen zur Verfügung:
Eine Menge [mm] C\subset{\IR^n} [/mm] heißt konvex, wenn für alle [mm] x,y\in{C}, \lambda\in{[0,1]}:
[/mm]
[mm] \lambda*x+(1-\lambda)*y\in{C}
[/mm]
"Also dann, wenn die Strecke zwischen zwei Punkten aus der Menge wieder in der Menge enthalten ist."
Sei [mm] a\in\IR^n, a\not=0,\beta\in\IR, [/mm] so heißt
[mm] \overline{H}:=\{x|a^Tx\le{\beta}\} [/mm] ein Halbraum.
Also muss ich mir jetzt zwei Punkte [mm] x,y\in\overline{H} [/mm] nehmen und zeigen, dass
[mm] \lambda*x+(1-\lambda)*y\in{\overline{H}}
[/mm]
Aber jetzt fehlt mir schon jeglicher Ansatz ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
MfG barsch
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:21 Mo 02.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> Halbraum ist konvex.
> Hi,
>
> ich versuche mir gerade zu verdeutlichen, warum ein
> Halbraum konvex ist. Dabei stehen mir im Skript folgende
> Definitionen zur Verfügung:
>
> Eine Menge [mm]C\subset{\IR^n}[/mm] heißt konvex, wenn für alle
> [mm]x,y\in{C}, \lambda\in{[0,1]}:[/mm]
>
> [mm]\lambda*x+(1-\lambda)*y\in{C}[/mm]
>
> "Also dann, wenn die Strecke zwischen zwei Punkten aus der
> Menge wieder in der Menge enthalten ist."
>
> Sei [mm]a\in\IR^n, a\not=0,\beta\in\IR,[/mm] so heißt
>
> [mm]\overline{H}:=\{x|a^Tx\le{\beta}\}[/mm] ein Halbraum.
>
> Also muss ich mir jetzt zwei Punkte [mm]x,y\in\overline{H}[/mm]
> nehmen und zeigen, dass
>
> [mm]\lambda*x+(1-\lambda)*y\in{\overline{H}}[/mm]
>
> Aber jetzt fehlt mir schon jeglicher Ansatz
>
Mann, Du mußt doch nur nachrechnen !!
Wegen x,y [mm] \in \overline{H} [/mm] gilt: $a^Tx [mm] \le \beta$ [/mm] und $a^Ty [mm] \le \beta$. [/mm] Dann:
[mm] $a^T(\lambda*x+(1-\lambda)*y) [/mm] = [mm] \lambda [/mm] a^Tx [mm] +(1-\lambda)a^Ty \le \lambda \beta +(1-\lambda) \beta [/mm] = [mm] \beta$,
[/mm]
also: [mm] \lambda*x+(1-\lambda)*y \in \overline{H}
[/mm]
FRED
> MfG barsch
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:25 Mo 02.03.2009 | | Autor: | barsch |
Hallo,
>
> Mann, Du mußt doch nur nachrechnen !!
![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
> Wegen x,y [mm]\in \overline{H}[/mm] gilt: [mm]a^Tx \le \beta[/mm] und [mm]a^Ty \le \beta[/mm].
> Dann:
>
>
> [mm]a^T(\lambda*x+(1-\lambda)*y) = \lambda a^Tx +(1-\lambda)a^Ty \le \lambda \beta +(1-\lambda) \beta = \beta[/mm],
>
> also: [mm]\lambda*x+(1-\lambda)*y \in \overline{H}[/mm]
>
> FRED
Sehr einleuchtend. Danke!
Mfg barsch
|
|
|
|
