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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:40 So 24.02.2008 | | Autor: | Docy |
| Aufgabe | | Sei G eine Gruppe der Ordnung n. Hat G für jeden Teiler d|n höchstens [mm] \phi(d) [/mm] (Eulerische Phifkt) Elemente der Ordnung d, so ist G zyklisch. Ist umgekehrt G zyklisch [mm] \Rightarrow [/mm] für alle d|n ex. genau [mm] \phi(d) [/mm] Elemente der Ordnung d. |
Hallo,
ich habe hier den Beweis bereits vorliegen, aber ich verstehe ihn leider nicht, ich hoffe mir kann da jemand weiterhelfen.
Zum Beweis:
[mm] "\Rightarrow": [/mm] Bezeichne [mm] \gamma(d) [/mm] die Anzahl der Elemente der Ordnung d in G [mm] \Rightarrow \gamma(d)\le\phi(d) \forall [/mm] d|n, wobei [mm] \phi [/mm] die Eulerische Phifkt ist.
Warum ist das so? Warum ist [mm] \gamma(d)\le\phi(d)? [/mm] Was hat denn [mm] \phi(d) [/mm] damit zu tun???
Der Beweis geht dann noch weiter, aber der Rest ist klar, zumindest in diese Richtung. Jetzt die andere Richtung.
[mm] "\Leftarrow": [/mm] Sei [mm] G=\{g^k | 0\le k\le n-1 \} [/mm] zyklisch.
[mm] g^k [/mm] hat Ordnung n [mm] \gdw [/mm] ggT(k,n)=1, also gibt es [mm] \phi(n) [/mm] Elemente der Ordnung n.
Das verstehe ich auch nicht, warum hat [mm] g^k [/mm] die Ordnung n [mm] \gdw [/mm] ggT(k,n)=1 ??? Kann mir das noch jemand erklären, bitte.
Der Rest vom Beweis ist nicht mehr so wichtig. Außer jemand möchte das gerne noch wissen, dann stelle ich ihn rein.
Ich würde mich echt freuen, wenn mir jemand helfen könnte
Gruß Docy
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Hallo Docy,
der Beginn im Teil [mm] "\Rightarrow" [/mm] ist lediglich eine Umformulierung der Voraussetzung.
Für die Frage in der anderen Richtung [mm] "\Leftarrow" [/mm] habt ihr doch bestimmt einen Satz gehabt, den der Beweis verwendet, sonst würde es nicht einfach so dastehen. Vielleicht habt ihr ihn in der Form [mm] \mathrm{ord}(g^k) [/mm] = [mm] \bruch{n}{\ggT(k,n)} [/mm] gehabt.
Viele Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:35 So 24.02.2008 | | Autor: | Docy |
Hallo nochmal,
danke für die Antwort, ich hab noch eine Frage:
Reicht bei der Rückrichtung nicht einfach aus, wenn man zeigt, dass [mm] g^k [/mm] hat die Ordnung c [mm] \gdw [/mm] ggT(k,c)=1 [mm] \Rightarrow [/mm] G hat [mm] \phi(c) [/mm] Elemente der Ordnung c.
Würde das nicht ausreichen?
Gruß Docy
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Hallo Docy,
was bringt die linke Aussage z.B. für c=1? Es ist immer ggT(k,1)=1.
Viele Grüße,
StefanK
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