Wann Zufallsgröße unabhängig? < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:15 Mo 01.06.2009 | | Autor: | DerGraf |
| Aufgabe | | Man zeige, dass die Zufallsgröße [mm] \xi [/mm] genau dann von sich selbst nicht abhängt (d.h. [mm] \xi [/mm] und [mm] \xi [/mm] sind unabhängig), wenn [mm] \xi=const [/mm] ist. |
Hallo erstmal,
Sei [mm] \xi=t=const [/mm] und A das zugehörige Ereignis zu [mm] \xi=t. [/mm] Dann gilt doch für die Unabhängigkeit:
P(A [mm] \cap A)=P(\xi=t \cap \xi=t)=P(\xi=t)*P(\xi=t)=P(A)*P(A)
[/mm]
[mm] \gdw A=\Omega [/mm] oder [mm] A=\emptyset
[/mm]
Nun betrachte ich das Beispiel: Eine Familie bekommt ein Kind. Das ist zu 50% ein Mädchen und zu 50% ein Junge. Sei nun A das Ereignis, das Kind ist ein Junge. Dann ist doch:
P(A)=P(A [mm] \cap A)=P(\xi=1 \cap \xi=1)=0,5\not=0,25=0,5*0,5=P(\xi=1)P(\xi=1)=P(A)P(A),
[/mm]
obwohl mein [mm] \xi=1=const.
[/mm]
Wo ist mein Denkfehler und wie muss ich diese Aufgabe lösen?
Gruß
DerGraf
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Dein Fehler liegt darin, dass dir nicht klar ist, was [mm]\xi=const[/mm] heißen soll. Eine (reelle) Zufallsvariable X ist eine Abbildung [mm]\Omega\mapsto \IR[/mm]. Wenn diese konstant ist, dann meint das, dass sie für alle (dann auch alle messbaren) Teilmengen von [mm] \Omega [/mm] (das sind die Ereignisse) denselben Wert annimmt.
Um in deinem Beispiel zu bleiben: Die Familie hat das Kind schon bekommen, es ist ein Junge. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Kind ein Junge ist gleich 1. Das Gegenereignis (das Kind ist ein Mädchen) hat damit die Wahrscheinlichkeit 0.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:15 Mo 01.06.2009 | | Autor: | DerGraf |
Danke für deine schnelle Antwort! Ich glaube, jetzt habe ich es begriffen. Ich habe für [mm] \xi=const [/mm] nur ja-nein-Fragen, von denen ich die Antwort bereits kenne, womit Fall 1 mit einer Wahrscheinlichkeit von 0 und Fall 2 mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 auftritt (sonst wüsste ich nicht, wie ich das bewerkstelligen kann, dass alle Teilmengen den gleichen Wert annehmen).
Da [mm] \Omega [/mm] ja eine Teilmenge von sich selber ist, kann ich dann daraus schlussfolgern, dass [mm] P(\xi=t)=1 [/mm] ist?
Dann wäre ja auch [mm] P(\xi=t)=1=P(\xi=t)P(\xi=t), [/mm] was ich haben will oder?
Gruß
DerGraf
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:35 Mo 01.06.2009 | | Autor: | lanyuyu |
> Danke für deine schnelle Antwort! Ich glaube, jetzt habe
> ich es begriffen. Ich habe für [mm]\xi=const[/mm] nur
> ja-nein-Fragen, von denen ich die Antwort bereits kenne,
> womit Fall 1 mit einer Wahrscheinlichkeit von 0 und Fall 2
> mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 auftritt (sonst wüsste
> ich nicht, wie ich das bewerkstelligen kann, dass alle
> Teilmengen den gleichen Wert annehmen).
>
> Da [mm]\Omega[/mm] ja eine Teilmenge von sich selber ist, kann ich
> dann daraus schlussfolgern, dass [mm]P(\xi=t)=1[/mm] ist?
>
> Dann wäre ja auch [mm]P(\xi=t)=1=P(\xi=t)P(\xi=t),[/mm] was ich
> haben will oder?
>
> Gruß
> DerGraf
Hi DerGraf,
du bist jetzt halbwegs in einer Beweisrichtung richtig.
Deine Aufgabe kann ich so formal schreiben:
"Zu zeigen: (X, X) ist unabhängig [mm] \gdw \existsc \in \IR [/mm] mit X=c f.s."
[mm] "\Leftarrow" [/mm]
P(X=c)=1 (die echte Bedeutung der rechten Seite) [mm] \Rightarrow [/mm] P(X [mm] \le [/mm] d)=
[mm] P(X\le d,X\le d)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } d
= [mm] P(X\le d)^2 [/mm] (nach Definition der Unabhängigkeit der ZVen ist der Beweis dieser Richtung schon fertig!)
[mm] \Rightarrow [/mm]
P(X [mm] \le d)=P(X\le d,X\le d)=P(X\le d)^2 \Rightarrow [/mm] P(X [mm] \le [/mm] d) [mm] \in \{0,1 \}
[/mm]
Aus Monotonie [mm] \exists [/mm] k [mm] \in \IR [/mm] mit [mm] P(X\le [/mm] k)=1 und P(X [mm] \le [/mm] d)=0 [mm] \forall [/mm] d<k
[mm] \Rightarrow P(X=k)=P((X\le [/mm] k) \ (X<k)) = [mm] P((X\le [/mm] k) \ [mm] \bigcup_{i=1}^{n}(X\le [/mm] k- [mm] \bruch{1}{n})) [/mm] = [mm] P(X\le [/mm] k)=1 [mm] \Box
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:19 Mo 01.06.2009 | | Autor: | DerGraf |
Vielen Dank für eure Hilfe, jetzt ist alles klar :)
Gruß
DerGraf
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