Wann LGS lösbar? < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei K ein Körper. Man bestimme alle q [mm] \in [/mm] K, für die das lineare Gleichungssyste Ax = b mit
A = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & q \\ -1 & 0 & 1} \in K^{4\times3}, [/mm] b = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 3 \\ 1} \in K^{4}
[/mm]
a) keine Lösung hat
b) genau eine Lösung hat
c) mehr als eine aber nur endlich viele Lösungen hat
d) unendlich viele Lösungen hat
Hinweis: Die Antwort ist abhängig von K |
Gut also habe ich das LGS nach dem Gauß-Algoriithmus auf Stufenform gebracht, war ja auch kein größeres Problem, dies sieht dann in matrixschreibweise, wie folgt aus [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 &1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & q-9 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 0}
[/mm]
Jetzt kann ich für a) sagen, dass für q = 9 keine Lösung existiert und für b) gibt es genau eine Lösung, wenn q [mm] \not= [/mm] 9
Dies gilt falls K = [mm] \IR
[/mm]
Die Fälle c) und d) können bei unserem LGS in [mm] \IR [/mm] nicht vorkommen also müssen wir andere Körper betrachten, dass jedoch ist genau mein Problem, da ich jetzt überhaupt keine Idee habe, wie ich das machen soll.
Hoffe ihr könnt mir einen Denkanstoss geben
MfG eddie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:41 Do 03.02.2011 | | Autor: | abakus |
> Sei K ein Körper. Man bestimme alle q [mm]\in[/mm] K, für die das
> lineare Gleichungssyste Ax = b mit
>
> A = [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & q \\ -1 & 0 & 1} \in K^{4\times3},[/mm]
> b = [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 3 \\ 1} \in K^{4}[/mm]
> a) keine Lösung
> hat
> b) genau eine Lösung hat
> c) mehr als eine aber nur endlich viele Lösungen hat
> d) unendlich viele Lösungen hat
> Hinweis: Die Antwort ist abhängig von K
> Gut also habe ich das LGS nach dem Gauß-Algoriithmus auf
> Stufenform gebracht, war ja auch kein größeres Problem,
> dies sieht dann in matrixschreibweise, wie folgt aus [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 &1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & q-9 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 0}[/mm]
>
> Jetzt kann ich für a) sagen, dass für q = 9 keine Lösung
> existiert und für b) gibt es genau eine Lösung, wenn q
> [mm]\not=[/mm] 9
> Dies gilt falls K = [mm]\IR[/mm]
> Die Fälle c) und d) können bei unserem LGS in [mm]\IR[/mm] nicht
> vorkommen also müssen wir andere Körper betrachten, dass
> jedoch ist genau mein Problem, da ich jetzt überhaupt
> keine Idee habe, wie ich das machen soll.
>
> Hoffe ihr könnt mir einen Denkanstoss geben
> MfG eddie
Hallo,
wenn du zunächst die dritte Gleichung rauslässt, so hat das System aus der 1., 2. und 4. Gleichung
x+2y+3z=1
4x+5y+6z=1
-x+z=1
bereits unendlich viele Lösungen, nämlich alle Tripel
(a, -2a-1, a+1).
Es bleibt bei unendlich vielen Lösungen, wenn du q so wählst, dass
7x+8y+qz=3
diesem Lösungstripel nicht widerspricht.
Es muss also
7a+8(-2a-1)+q(a+1)=3 gelten, und solche q sollte es für beliebig gewählte a geben.
Für q=9 gibt es tatsächlich einen Widerspruch und somit keine Lösung.
Für die restlichen beiden Teilaufgabe ist die Frage, ob sich der Körper so definieren lässt, dass a nur endlich viele Werte oder sogar nur einen Wert annehmen kann.
Gruß Abakus
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