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| Aufgabe | Aus einer Urne mit 50 gleichartigen Kugeln wird zufällig eine Kugel gezogen. Die Kugeln tragen die Nummern 1, 2, 3, ..., 50.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die Nummer auf der gezogenen Kugel eine Zahl, die durch 4 oder 6 teilbar ist? |
Hallo!
Bei dieser Aufgabe muss man doch die allgemeine Summenregel anwenden, oder? Ich bekomme nur irgendwie immer etwas Falsches raus.
Ich hab das hier gerechnet:
durch 4 teilbar:
[mm] E_{1} [/mm] = [mm] \bruch{12}{50}
[/mm]
durch 6 teilbar:
[mm] E_{2} [/mm] = [mm] \bruch{8}{50}
[/mm]
alles:
P [mm] (E_{1} \bigcup_{i=1}^{n} E_{2}) [/mm] = P [mm] (E_{1}) [/mm] + P [mm] (E_{2}) [/mm] - P [mm] (E_{1} \bigcap_{i=1}^{n} E_{2})
[/mm]
eingesetzt:
P [mm] (E_{1} \bigcup_{i=1}^{n} E_{2}) [/mm] = [mm] \bruch{12}{50} [/mm] + [mm] \bruch{8}{50} [/mm] - [mm] (\bruch{12}{50} \* \bruch{8}{50})
[/mm]
= [mm] \bruch{20}{50} [/mm] - [mm] \bruch{96}{2500}
[/mm]
= [mm] \bruch{20}{50} [/mm] - [mm] \bruch{0,96}{25}
[/mm]
= [mm] \bruch{19,04}{50}
[/mm]
Die richtige Lösung ist aber [mm] \bruch{16}{50}.
[/mm]
Ich glaube ich mache bei der Berechnung von P [mm] (E_{1} \bigcap_{i=1}^{n} E_{2}) [/mm] irgendwas falsch? Aber man muss doch einfach P [mm] (E_{1}) \* [/mm] P [mm] (E_{2}) [/mm] rechnen, dachte ich?
Viiiielen Dank schonmal für die Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. ;)
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> Aus einer Urne mit 50 gleichartigen Kugeln wird zufällig
> eine Kugel gezogen. Die Kugeln tragen die Nummern 1, 2, 3,
> ..., 50.
> Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die Nummer auf der
> gezogenen Kugel eine Zahl, die durch 4 oder 6 teilbar ist?
> Hallo!
> Bei dieser Aufgabe muss man doch die allgemeine
> Summenregel anwenden, oder? Ich bekomme nur irgendwie immer
> etwas Falsches raus.
> Ich hab das hier gerechnet:
>
> durch 4 teilbar:
> [mm]E_{1}[/mm] = [mm]\bruch{12}{50}[/mm]
>
> durch 6 teilbar:
> [mm]E_{2}[/mm] = [mm]\bruch{8}{50}[/mm]
>
> alles:
> P [mm](E_{1} \bigcup_{i=1}^{n} E_{2})[/mm] = P [mm](E_{1})[/mm] + P [mm](E_{2})[/mm]
> - P [mm](E_{1} \bigcap_{i=1}^{n} E_{2})[/mm]
>
> eingesetzt:
> P [mm](E_{1} \bigcup_{i=1}^{n} E_{2})[/mm] = [mm]\bruch{12}{50}[/mm] +
> [mm]\bruch{8}{50}[/mm] - [mm](\bruch{12}{50} \* \bruch{8}{50})[/mm]
>
> = [mm]\bruch{20}{50}[/mm] - [mm]\bruch{96}{2500}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{20}{50}[/mm] - [mm]\bruch{0,96}{25}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{19,04}{50}[/mm]
>
> Die richtige Lösung ist aber [mm]\bruch{16}{50}.[/mm]
> Ich glaube ich mache bei der Berechnung von P [mm](E_{1} \bigcap_{i=1}^{n} E_{2})[/mm]
> irgendwas falsch? Aber man muss doch einfach P [mm](E_{1}) \*[/mm] P
> [mm](E_{2})[/mm] rechnen, dachte ich?
$P(A [mm] \cap [/mm] B) = P(A)*P(B)$ willst du anwenden?
Das gilt aber nur, wenn A und B stochastisch unabhängig sind, das heißt ob A eintrifft oder nicht hat keinerlei Einfluss darauf ob B eintrifft.
Dies ist bei dir jedoch nicht der Fall.
Richtig wäre [mm] $P(E_1 \cap E_2) [/mm] = [mm] \frac{4}{50}$
[/mm]
Dies kannst du dir zum Beispiel auf folgende Art überlegen:
Sei A die Menge aller natürlicher Zahlen [mm] $\leq$ [/mm] 50, die durch 4 oder durch 6 teilbar sind.
Dann ist deine gesuchte Wahrscheinlichkeit gerade [mm] $\frac{|A|}{50}$, [/mm] wobei |A| für die Mächtigkeit von A, also die Anzahl der Elemente in A steht.
Du musst also zählen, wie viele Zahlen [mm] $\leq$ [/mm] 50 durch 4 oder durch 6 teilbar sind.
Dafür zählst du zuerst alle durch 4 teilbaren, sind insgesamt 12 Stück (hast du ja auch so^^).
Dann alle durch 6 teilbaren, insgesamt 8 Stück (auch das hast du richtig).
Nun hast du aber alle Zahlen, die sowohl durch 4 als auch durch 6 teilbar sind doppelt gezählt, musst diese also wieder abziehen (was ja auch soweit richtig in deiner Formel steht).
Durch 4 und durch 6 teilbar sind:
{12,24,36,48}
Also hast du ins gesamt für die Wahrscheinlichkeit:
[mm] $\frac{12 + 8 - 4}{50} [/mm] = [mm] \frac{16}{50}
[/mm]
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> Viiiielen Dank schonmal für die Hilfe!
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt. ;)
MfG
Schadowmaster
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Okay, also habe ich das jetzt richtig verstanden, dass ich vorher erst gucken muss, ob das Eintreffen von A irgendwie mit dem Eintreffen von B zusammenhängt, ob die beiden also etwas gemeinsam haben? In dem Fall wären das ja diese 4 Zahlen, die bei beiden vorkommen.
Und wenn sie wirklich stochastisch voneinander abhängig sind, dann gibt es nur die Möglichkeit auf [mm] P(E_1 \cap E_2) [/mm] zu kommen, indem man zählt, also es gibt keine Formel - stimmt das so?
Dankeschön für die Hilfe! Ich schreib morgen die (hoffentlich) letzte Mathearbeit meines Lebens und bin teilweise leicht am Verzweifeln. ;)
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> Okay, also habe ich das jetzt richtig verstanden, dass ich
> vorher erst gucken muss, ob das Eintreffen von A irgendwie
> mit dem Eintreffen von B zusammenhängt, ob die beiden also
> etwas gemeinsam haben? In dem Fall wären das ja diese 4
> Zahlen, die bei beiden vorkommen.
genau
Also ob sich die Wahrscheinlichkeit von B in irgend einer Form ändert, jenachdem ob A eingetroffen ist oder nicht.
> Und wenn sie wirklich stochastisch voneinander abhängig
> sind, dann gibt es nur die Möglichkeit auf [mm]P(E_1 \cap E_2)[/mm]
> zu kommen, indem man zählt, also es gibt keine Formel -
> stimmt das so?
Das hängt immer von der Aufgabenstellung ab.
In diesem Fall ist (meiner Meinung nach) der beste Weg zu zählen, ja.
Es mag manche Fälle geben, in denen eine gewisse Formel greift, aber wenn du morgen die Klausur schreibst merk dir einfach, dass du dieses Problem umgehen musst; zum Beispiel durch zählen, das hängt wie gesagt stark von der Aufgabe ab.
> Dankeschön für die Hilfe! Ich schreib morgen die
> (hoffentlich) letzte Mathearbeit meines Lebens und bin
> teilweise leicht am Verzweifeln. ;)
Na dann viel Glück ;)
MfG
Schadow
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