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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:59 Do 07.05.2009 | | Autor: | rait |
| Aufgabe | | Ein sechsseitiger Würfel wird dreimal gewürfelt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei 6en gewürfelt werden? |
Das habe ich mit einem Baumdiagramm gelöst. Dabei habe ich herausbekommen, dass die Wahrscheinlichkeit bei drei Würfen mindestens zweimal die 6 zu würfeln bei 16/216, also bei ca. 7,41% liegt.
Nun ist meine Frage: Mit welcher Formel kann ich das berechnen, ohne ein Baumdiagramm zu zeichnen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:07 Do 07.05.2009 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> Ein sechsseitiger Würfel wird dreimal gewürfelt. Wie groß
> ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei 6en
> gewürfelt werden?
> Das habe ich mit einem Baumdiagramm gelöst. Dabei habe ich
> herausbekommen, dass die Wahrscheinlichkeit bei drei Würfen
> mindestens zweimal die 6 zu würfeln bei 16/216, also bei
> ca. 7,41% liegt.
> Nun ist meine Frage: Mit welcher Formel kann ich das
> berechnen, ohne ein Baumdiagramm zu zeichnen?
Die Zufallsvariable X, die die Anzahl der 6en bei 3 Würfen liefert ist binomialverteilt mit n=3 und p=1/6.
Gesucht ist
$P(X [mm] \ge [/mm] 2) = P(X=2) + P(X=3) = {3 [mm] \choose [/mm] 2} * [mm] p^2 [/mm] * [mm] (1-p)^1 [/mm] + {3 [mm] \choose [/mm] 3} * [mm] p^3 [/mm] * [mm] (1-p)^0.$
[/mm]
Dabei sind ${3 [mm] \choose [/mm] 2} = 3$ die Anzahl der Pfade im Baumdiagramm, die für genau 2 6en günstig sind und ${3 [mm] \choose [/mm] 3} = 1$ die Anzahl der Pfade im Baumdiagramm, die für genau eine 6 günstig ist. Der restliche Term gibt jeweils die Pfadwahrscheinlichkeit an.
LG
Will
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