Wahrscheinlichkeitsrechnung < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:07 So 14.12.2008 | | Autor: | chappi |
| Aufgabe | In einem Teich leben 100 Fische. Für ein zoologisches Experiment werden 7 Fische eingefangen, markiert und wieder im Teich ausgesetzt.
Einen Tag später - alle Fische leben noch - werden aus diesem Teich wieder 7 Fische eingefangen.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit befinden sich darunter zumindest zwei markierte Exemplare? |
Hallo Zusammen,
Die oben beschriebene Aufgabe bereitet mir ein wenig sorgen. Es ist klar, dass in diesem Teich 7% der Fische markiert wurden. Ein gefangener Fisch am nächsten Tag kann also markiert oder nicht markiert sein. Bei 7 gefangenen Fischen ergibt das meiner Meinung nach [mm] 2^7, [/mm] also 128 Möglichkeiten für die gefangenen Fische, dass sie entweder markiert oder eben unmarkiert sind.
Wie kann ich jedoch die exakte Wahrscheinlichkeit ausrechnen? Kann mir da jemand weiterhelfen?
Vielen Dank.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Ganz ausführlich gestaltet sich das Problem als die Frage nach der Wahrscheinlichkeit eines 7er Tupels {_ _ _ _ _ _ _ } indem zwei mal ein markierter Fisch enthalten ist. Die Möglichkeiten, zwei auf 7 zu verteilen, betragen $ [mm] \vektor{7 \\ 2} [/mm] $ und die Wahrscheinlichkeit für einen Tupel beträgt $ [mm] P(X)=\bruch{93}{100}*\bruch{92}{99}*\bruch{91}{98}*\bruch{90}{97}*\bruch{89}{96}*\bruch{7}{95}*\bruch{6}{94} [/mm] $ . Die Gesamtwahrscheinlichkeit für P(X=2) ist demnach: $ [mm] \vektor{7 \\ 2}*\bruch{93}{100}*\bruch{92}{99}*\bruch{91}{98}*\bruch{90}{97}*\bruch{89}{96}*\bruch{7}{95}*\bruch{6}{94} [/mm] $
andere Alternative wäre ja, es so zusehen wie eine Lottoziehung, denn ich ziehe beleibige FIsche, die Reihenfolge ist egal und ich will nur wissen, ob sie markiert sind, also geht auch $ [mm] \bruch{\vektor{7 \\ 2}*\vektor{93 \\ 5}}{\vektor{100 \\ 7}} [/mm] $
Die Ergebnisse sind identisch, jedoch nur für den Fall X=2 gerechnet.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:51 So 14.12.2008 | | Autor: | chappi |
| Aufgabe | Ganz ausführlich gestaltet sich das Problem als die Frage nach der Wahrscheinlichkeit eines 7er Tupels {_ _ _ _ _ _ _ } indem zwei mal ein markierter Fisch enthalten ist. Die Möglichkeiten, zwei auf 7 zu verteilen, betragen $ [mm] \vektor{7 \\ 2} [/mm] $ und die Wahrscheinlichkeit für einen Tupel beträgt $ [mm] P(X)=\bruch{93}{100}\cdot{}\bruch{92}{99}\cdot{}\bruch{91}{98}\cdot{}\bruch{90}{97}\cdot{}\bruch{89}{96}\cdot{}\bruch{7}{95}\cdot{}\bruch{6}{94} [/mm] $ . Die Gesamtwahrscheinlichkeit für P(X=2) ist demnach: $ [mm] \vektor{7 \\ 2}\cdot{}\bruch{93}{100}\cdot{}\bruch{92}{99}\cdot{}\bruch{91}{98}\cdot{}\bruch{90}{97}\cdot{}\bruch{89}{96}\cdot{}\bruch{7}{95}\cdot{}\bruch{6}{94} [/mm] $
andere Alternative wäre ja, es so zusehen wie eine Lottoziehung, denn ich ziehe beleibige FIsche, die Reihenfolge ist egal und ich will nur wissen, ob sie markiert sind, also geht auch $ [mm] \bruch{\vektor{7 \\ 2}\cdot{}\vektor{93 \\ 5}}{\vektor{100 \\ 7}} [/mm] $ |
Hallo Adamantin,
Danke für deine schnelle Antwort!
Für die Möglichkeit, würde ich jedoch den Bruch [mm] \bruch{2}{7} [/mm] verwenden, da ja mindestens zwei aus sieben gezogenen Fischen markiert sind. Oder sehe ich das falsch?
Ansonsten finde ich deinen Ansatz sehr gut um die Gesamtwahrscheinlichkeit zu errechnen. Ich versuche Mal, auf das Resultat zu kommen. Gemäss Lösungen ist das 0.0749.
viele Grüsse
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Ganz ausführlich gestaltet sich das Problem als die Frage
> nach der Wahrscheinlichkeit eines 7er Tupels {_ _ _ _ _ _ _
> } indem zwei mal ein markierter Fisch enthalten ist. Die
> Möglichkeiten, zwei auf 7 zu verteilen, betragen [mm]\vektor{7 \\ 2}[/mm]
> und die Wahrscheinlichkeit für einen Tupel beträgt
> [mm]P(X)=\bruch{93}{100}\cdot{}\bruch{92}{99}\cdot{}\bruch{91}{98}\cdot{}\bruch{90}{97}\cdot{}\bruch{89}{96}\cdot{}\bruch{7}{95}\cdot{}\bruch{6}{94}[/mm]
> . Die Gesamtwahrscheinlichkeit für P(X=2) ist demnach:
> [mm]\vektor{7 \\ 2}\cdot{}\bruch{93}{100}\cdot{}\bruch{92}{99}\cdot{}\bruch{91}{98}\cdot{}\bruch{90}{97}\cdot{}\bruch{89}{96}\cdot{}\bruch{7}{95}\cdot{}\bruch{6}{94}[/mm]
>
>
> andere Alternative wäre ja, es so zusehen wie eine
> Lottoziehung, denn ich ziehe beleibige FIsche, die
> Reihenfolge ist egal und ich will nur wissen, ob sie
> markiert sind, also geht auch [mm]\bruch{\vektor{7 \\ 2}\cdot{}\vektor{93 \\ 5}}{\vektor{100 \\ 7}}[/mm]
>
> Hallo Adamantin,
>
>
> Danke für deine schnelle Antwort!
> Für die Möglichkeit, würde ich jedoch den Bruch
> [mm]\bruch{2}{7}[/mm] verwenden, da ja mindestens zwei aus sieben
> gezogenen Fischen markiert sind. Oder sehe ich das falsch?
> Ansonsten finde ich deinen Ansatz sehr gut um die
> Gesamtwahrscheinlichkeit zu errechnen. Ich versuche Mal,
> auf das Resultat zu kommen. Gemäss Lösungen ist das
> 0.0749.
>
> viele Grüsse
Du müsstest Brüche und Binomialkoeffizienten auseinander halten.
Ich meine aus der Aufgabe zu lesen, dass nach einer kummulierten Wahrscheinlichkeit gefragt ist, also nach der Wahrscheinlichkeit, 2 oder mehr markierte Fische in der Stichprobe bestehend aus 7 Fischen zu haben.
Google doch einmal unter "Ziehen ohne Zurücklegen" (Urnenmodell) oder unter "hypergeometrischer Wahrscheinlichkeit".
Der Ansatz wäre dann:
[mm]P(2 \le y \le 7)=\sum_{y=2}^{7}\bruch{\vektor{7 \\ y}\cdot{}\vektor{100-7 \\ 7-y}}{\vektor{100 \\ 7}}\approx 7,49[/mm]%
LG, Martinius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:51 So 14.12.2008 | | Autor: | Adamantin |
Ich habe auch mehrmals erwähnt, dass ich nur für den Fall X=2 eine Lösung anbieten wollte, wie erwähnt interpretiere ich "zumindesat" ebenfalls mit wenigstens und dann ist eben eine Summe der Wahrscheinlichkeiten von P(X=2) bis P(X=7) gefragt, dafür hast die Formel ja angegeben :)
|
|
|
|
