Wahrscheinlichkeitsraum < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:30 Fr 19.05.2006 | | Autor: | Katya |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Könnte mir bitte jemand wörtlich erklären, was Wahrscheinlichkeitsraum ist.
Danke
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:30 Sa 20.05.2006 | | Autor: | Katya |
Ja, danke.
Den Artikel bei Wikipedia hab ich mir längst angeschaut.
Ich weiss aber nicht ob ich mir das ganze jetzt richtig vorstelle: Es gibt eine Menge Ergebnisse und jedem Ergebniss wird seine Wahrscheinlichkeit zugeordnet. So verstehe ich das.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:38 Sa 20.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Den Artikel bei Wikipedia hab ich mir längst angeschaut.
> Ich weiss aber nicht ob ich mir das ganze jetzt richtig
> vorstelle: Es gibt eine Menge Ergebnisse und jedem
> Ergebniss wird seine Wahrscheinlichkeit zugeordnet. So
> verstehe ich das.
Du hast eine Menge [mm] $\Omega$ [/mm] (der Grundraum) von moeglichen Elementarereignissen [mm] $\omega$.
[/mm]
Dann hast du eine Menge [mm] $\mathfrak{A}$ [/mm] (die [mm] $\sigma$-Algebra) [/mm] von Mengen von solchen Elementarereignissen. Er sagt dir, welchen Mengen von Elementarereignissen du Wahrscheinlichkeiten zuordnen kannst. Die Menge [mm] $\mathfrak{A}$ [/mm] muss nicht jede beliebige Teilmenge von [mm] $\Omega$ [/mm] enthalten (tut sie aber trotzdem des oefteren mal, gerade bei endlichen oder abzaehlbaren Wahrscheinlichkeitsraeumen)!
Und dann gibts eine Funktion [mm] $\mu$ [/mm] (das Mass), welche einer zulaessigen Menge von Elementarereignissen (das ist dann eine Menge aus [mm] $\mathfrak{A}$) [/mm] eine Zahl zwischen 0 und 1 zuordnet. Diese Zahl wird als Wahrschienlichkeit interpretiert, dass ein Elementarereignis aus dieser Menge eintritt.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:56 Sa 20.05.2006 | | Autor: | Katya |
> Du hast eine Menge [mm]\Omega[/mm] (der Grundraum) von moeglichen
> Elementarereignissen [mm]\omega[/mm].
> Dann hast du eine Menge [mm]\mathfrak{A}[/mm] (die [mm]\sigma[/mm]-Algebra)
> von Mengen von solchen Elementarereignissen. Er sagt dir,
> welchen Mengen von Elementarereignissen du
> Wahrscheinlichkeiten zuordnen kannst.
Wo kommt sie (diese Menge) her?
Die Menge
> [mm]\mathfrak{A}[/mm] muss nicht jede beliebige Teilmenge von [mm]\Omega[/mm]
> enthalten (tut sie aber trotzdem des oefteren mal, gerade
> bei endlichen oder abzaehlbaren
> Wahrscheinlichkeitsraeumen)!
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:04 Sa 20.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > Du hast eine Menge [mm]\Omega[/mm] (der Grundraum) von moeglichen
> > Elementarereignissen [mm]\omega[/mm].
> > Dann hast du eine Menge [mm]\mathfrak{A}[/mm] (die
> [mm]\sigma[/mm]-Algebra)
> > von Mengen von solchen Elementarereignissen. Er sagt dir,
> > welchen Mengen von Elementarereignissen du
> > Wahrscheinlichkeiten zuordnen kannst.
>
> Wo kommt sie (diese Menge) her?
Aus dem Modell!
Teilweise aus rein technischen Gruenden, wenn man z.B. als Grundraum ein Intervall aus den reellen Zahlen hat (oder sogar noch mehr) so muss man [mm] $\mathfrak{A}$ [/mm] einschraenken, ansonsten kann man kein sinnvolles Mass definieren. (Wenn du z.B. eine normalverteilte Zufallsvariable hast ist das der Fall!)
Ansonsten kann man [mm] $\mathfrak{A}$ [/mm] auch als die Menge der `sichtbaren' Ereignisse interpretieren.
Wenn du z.B. drei Wuerfe mit einem 6-Wuerfel modellieren willst, nimmst du [mm] $\Omega$ [/mm] als die Menge der Paare $(a, b, c)$ mit $a, b, c [mm] \in \{ 1, \dots, 6 \}$; [/mm] dabei ist $a$ der Wert des Wuerfels beim ersten Wurf, $b$ beim zweiten und $c$ beim dritten Wurf.
Wenn du jetzt die Situation nach dem zweiten Wurf modellieren moechtest, bzw. nicht erlauben willst das man sozusagen in die Zukunft schauen kann, so kannst du als [mm] $\sigma$-Algebra $\mathfrak{A}$ [/mm] die Menge aller Mengen $M$ von solchen Tupeln nehmen, in denen zu $(a, b, c) [mm] \in [/mm] M$ auch $(a, b, c') [mm] \in [/mm] M$ ist fuer jedes $c' [mm] \in \{ 1, \dots, 6 \}$. [/mm] Damit soll ausgedrueckt werden, dass wenn du weisst, dass z.B. $(1, 2, 3) [mm] \in [/mm] M$ ist, dass dann auch genauso $(1, 2, 5)$ und $(1, 2, 1) [mm] \in [/mm] M$ ist, da du nach dem zweiten Wurf noch nicht zwischen den Ereignissen ``erster Wurf 1, zweiter 2, dritter 3'' und ``erster Wurf 1, zweiter 2, dritter 5'' etc. unterscheiden kannst!
Das Beispiel mag jetzt vielleicht ein wenig billig klingen (da du hier jedem Ereignis eine eindeutige Wahrscheinlichkeit zuordnen kannst), aber bei groesseren Modellen (z.B. Modellierung eines Aktienkurses oder einer Ameisenpopulation oder sonstwas zu jedem Zeitpunkt $t [mm] \in \IR$, [/mm] $t [mm] \ge [/mm] 0$) ist sowas schon gleich was ganz anderes.
LG Felix
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