Wahrscheinlichkeitsmaß < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:26 Fr 29.04.2005 | | Autor: | BenLopez |
Hey Leute,
könnt ihr mir vielleicht dabei helfen, zu zeigen, dass das hier ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist?
P((a,b])= [mm] \bruch{1}{ \wurzel{2* \pi}*\lambda}* \integral_{a}^{b} [/mm] { e^-1*{ [mm] \bruch{(x-\mu)^{2}}{2*\lambda^{2}}} [/mm] dx}
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:06 Fr 29.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo BenLopez!
Die einzige Schwierigkeit besteht darin einzusehen, dass [mm] $P(\Omega)=1$ [/mm] ist, sprich dass der Integrand eine Dichtefunktion ist (nichtnegativ ist er ja offensichtlich).
Falls ihr mit Dichten noch nicht operiert habt: Der Rest der Eigenschaften eines W-Maßes folgt unmittelbar aus den Eigenschaften eines Integrals (unter Verwendung des Konvergenzsatzes von Beppo Levi).
Um zu zeigen, dass das Integral über die reelle Achse gleich $1$ ist, solltest du eine geeignete Substitution durchführen und die bekannte Tatsache ausnutzen, dass
[mm] $\int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\, [/mm] dx = [mm] \sqrt{\pi}$
[/mm]
ist (das sollte aus der Analysis bekannt sein).
Viele Grüße
Stefan
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