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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:08 Do 22.03.2007 | | Autor: | LL0rd |
| Aufgabe | Zufallsvariable X sei normalverteilt mit dem Erwartungswert [mm] \mu=0 [/mm] und Varianz [mm] \sigma^2=4. [/mm] Die Zufallsvariable sei eine Funktion von X:
[mm] Y=X^3+5X^2+X
[/mm]
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsdichte [mm] f_Y(y) [/mm] an der Stelle y=0. |
Wenn ich die Wahrscheinlichkeitsrechung richtig verstanden habe, muss ich in diesem Fall aus
[mm] Y=X^3+5X^2+X [/mm]
X=... (irgendwas mit Y)
machen. Aber wie mach ich das?
Die Musterlösung ist leider sehr sparsam:
[mm] f_Y(0)=0,4074
[/mm]
Hat von euch jemand einen Tipp?
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Hallo,
also ich würde das so angehen.
> Zufallsvariable X sei normalverteilt mit dem Erwartungswert
> [mm]\mu=0[/mm] und Varianz [mm]\sigma^2=4.[/mm] Die Zufallsvariable sei eine
> Funktion von X:
>
> [mm]Y=X^3+5X^2+X[/mm]
X ist normalverteilt. Die allg. Dichte einer normalverteilten Zufallsvariablen:
[mm] f(x)=\bruch{1}{\sigma*\wurzel{2\pi}}*e^{(-0,5(\bruch{x-\mu}{\sigma})^{2})}
[/mm]
Setzen wir deine Werte ein, erhalten wir:
[mm] f(x)=\bruch{1}{\wurzel{8\pi}}*e^{(-0,5(\bruch{x^{2}}{4}))}
[/mm]
Dann kennst du vielleicht die Formel, die dir nun die gesuchte Wahrscheinlichkeitsdichte liefert:
Sei [mm] X:\Omega\to\IR [/mm] stetige ZV, F(X) Verteilungsfunktion, f(x) Dichte. Y=g(x). Dann ist die Dichte von Y gegeben durch h(y) mit
[mm] h(y)=\bruch{f(g^{-1}(y))}{g'(g^{-1}(y))} [/mm] für diffbare g.
Damit kannst du das nun ausrechnen. Problematisch ist dabei sicherlich, eine geschlossene Umkehrfunktion für g zu finden. Zur Not musst du das numerisch machen oder man kann auch die Cardanischen Formeln anwenden!
>
> Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsdichte [mm]f_Y(y)[/mm] an der
> Stelle y=0.
> Wenn ich die Wahrscheinlichkeitsrechung richtig verstanden
> habe, muss ich in diesem Fall aus
>
> [mm]Y=X^3+5X^2+X[/mm]
>
> X=... (irgendwas mit Y)
>
> machen. Aber wie mach ich das?
>
> Die Musterlösung ist leider sehr sparsam:
>
> [mm]f_Y(0)=0,4074[/mm]
>
> Hat von euch jemand einen Tipp?
Viele Grüße
Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:41 Do 22.03.2007 | | Autor: | LL0rd |
Genau da liegt auch mein Problem. Wie finde ich die Umkehrfunktion. Habs gerade auch schon versucht mit den Cardanischen Formeln zu lösen, leider ohne Erfolg. Kann mit das bitte einer zeigen, die ich die in diesem Fall finden kann?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:19 Fr 23.03.2007 | | Autor: | wauwau |
Du brauchst ja keine geschlossene Form für die Umkehrfunktion zu finden. Die Aufgabe ist ja bloß, die Dichte an der Stelle 0 zu bestimmen, also brauchst du auch nur die Umkehrfunktion an dieser stelle also:
[mm]0 = x^{3}+5x^{2}+x[/mm]
[mm]x = 0[/mm] und die beiden anderen durch Lösung der quadtr. Gleichung.
Der Rest sollte straight forward gerechnet werden können.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:45 Fr 23.03.2007 | | Autor: | LL0rd |
Ich hab das ganze mal eben schnell in Maple reingehauen:
[mm] evalf(solve(x^3+5*x^2+x=0,x));
[/mm]
0., -0.208712152, -4.791287848
Sorry, aber ich verstehe immer noch nicht ganz, wie ich aus diesen Ergebnissen die Dichte bestimmen kann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 So 25.03.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) überfällig | | Datum: | 23:18 Mo 26.03.2007 | | Autor: | Andy123 |
Hallo zusammen,
da mich diese Aufgabe ebenfalls interessiert, möchte ich noch einmal nachfragen:
Nach o.g. Vorgehensweise erhält man x=-0,2087122.
Wenn ich nun von der Dichtefunktion von Y an der Stelle y=0 ausgehe, heißt das, dass $ [mm] f_Y(0)=f_{X^3+5X^2+X}(0)=f_{X^2+5X+1}(0)$ [/mm] gilt?
Wie lautet der nächste Schritt, um den Wert der Dichte zu bestimmen?
Habe leider keinen brauchbaren Ansatz. Einzige weitere Überlegung war die Umformung in der Verteilungsfunktion von Y vorzunehmen, sprich [mm] $F_Y(y)=P(Y \le y)=P(X^3+5X^2+X \le [/mm] y)$, gelange jedoch nicht zum gewünschten Ergebnis.
Kann jemand bitte weiterhelfen?
Grüße
Andy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Mi 28.03.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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