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| Aufgabe | Auf einer Ausstellung sind von 15 Gemälden 12 Originale. Ein Besucher wählt zufällig ein Bild aus, befragt aber, bevor er es kauft, einen Experten nach dessen Meinung. Dieser gibt im Mittel bei 9 von 10 Werken eine richtige Beurteilung ab (sowohl bei den Originalen als auch bei den Fälschungen).
Wenn der Experte entscheidet, dass das Bild eine Fälschung ist, gibt der Besucher das Bild zurück und wählt ein anderes. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist dieses dann ein Original?</ |
Hallo,
sitze gerade an dieser Aufgabe und würde gerne wissen und weiß nicht so recht wie ich beginnen soll.
Ich denke, dass hier die Bayessche Regel weiterhelfen könnte.
Zunächst kann man folgendes annehmen.
die Wahrscheinlichkeit, das wirklich eine Fälschung zurückgegeben wird liegt bei 9/10 (1.)(, dass ein Original zurückgegeben wird 1/10 (2.)).
(1.) Wahrscheinlichkeit zunächst 12/14 ein Original zu wählen
(2.) Wahrscheinlichkeit 11/14 ein Original zuwählen
Ich weiß nicht so recht wie ich das in die Formel reinpacken soll![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") , aber da wir die gerade in der Vorlesung hatten gehe ich davon aus, dass man es muss.
Wäre über eine Antwort sehr dankbar.
Grüße
Britta
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:12 Mi 03.11.2010 | | Autor: | abakus |
> Auf einer Ausstellung sind von 15 Gemälden 12 Originale.
> Ein Besucher wählt zufällig ein Bild aus, befragt aber,
> bevor er es kauft, einen Experten nach dessen Meinung.
> Dieser gibt im Mittel bei 9 von 10 Werken eine richtige
> Beurteilung ab (sowohl bei den Originalen als auch bei den
> Fälschungen).
> Wenn der Experte entscheidet, dass das Bild eine
> Fälschung ist, gibt der Besucher das Bild zurück und
> wählt ein anderes. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist
> dieses dann ein Original?</
> Hallo,
> sitze gerade an dieser Aufgabe und würde gerne wissen und
> weiß nicht so recht wie ich beginnen soll.
> Ich denke, dass hier die Bayessche Regel weiterhelfen
> könnte.
> Zunächst kann man folgendes annehmen.
> die Wahrscheinlichkeit, das wirklich eine Fälschung
> zurückgegeben wird liegt bei 9/10 (1.)(, dass ein Original
> zurückgegeben wird 1/10 (2.)).
> (1.) Wahrscheinlichkeit zunächst 12/14 ein Original zu
> wählen
> (2.) Wahrscheinlichkeit 11/14 ein Original zuwählen
>
> Ich weiß nicht so recht wie ich das in die Formel
> reinpacken soll, aber da wir die gerade in der
> Vorlesung hatten gehe ich davon aus, dass man es muss.
Das ist Sache des Betrachters, ob man muss oder glaubt zu müssen.
Mache doch einfach ein Baumdiagramm.
Es gibt vier Pfade:
1. Pfad: Bild ist O --> Experte sagt F --> neue gewähltes Bild ist O
2. Pfad: Bild ist O --> Experte sagt F --> neue gewähltes Bild ist F
3. Pfad: Bild ist F --> Experte sagt F --> neue gewähltes Bild ist O
4. Pfad: Bild ist F --> Experte sagt F --> neue gewähltes Bild ist F.
Gruß Abakus
>
>
> Wäre über eine Antwort sehr dankbar.
>
> Grüße
> Britta
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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hallo,
ich sitze grade auch an dieser aufgabe und hab da auch mal eine frage..
also was man zuerst bei der aufgabe weiß ist,
dass [mm] \bruch{12}{15} [/mm] der bilder originale sind und [mm] \bruch{3}{15} [/mm] Fälschungen...zudem liegt der experte zu [mm] \bruch{9}{10} [/mm] richtig, also zu [mm] \bruch{1}{10} [/mm] falsch...
jetzt hab ich mir das baumdiagramm auch mal aufgemalt aber ich weiß nicht so recht wie ich weiter vorgehen soll...also zum ersten pfad mal:
1. Pfad: Bild ist O --> Experte sagt F --> neue gewähltes Bild ist O
also die ausgangswahrscheinlichkeit ein original zu erhalten ist ja [mm] \bruch{12}{15}....jetzt [/mm] beim ersten pfad nimmt der besucher ja ein original aber der experte sagt, dass es eine fälschung ist und daraufhin gibt der besucher dieses ja weg und nimmt ein anderes...das bedeutet doch, dass jetzt nur noch 11 originale übrig bleiben weil der besucher das bild zurücklegt..also wäre die wahrscheinlichkeit, dass das neue bild ein original ist, wäre doch [mm] \bruch{11}{15}...
[/mm]
hab ich das so richtig verstanden?
wäre toll wenn mir da jemand helfen könnte...danke schonmal..
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Hallo,
habe mir die Aufgabe mal durch gelesen und ich bin der Meinung, dass die Wahrscheinlichkeit gleich bleibt.
Denn im Ausgangstext steht, dass der Besucher das Bild zurück legt wenn der Experte sagt es ist eine Fälschung, somit bleibt die Anzahl der Originale gleich.
Das heißt die Wahrscheinlichkeit ein Original zu bekommen liegt immer bei [mm] \bruch{12}{15.}
[/mm]
Liebe Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:28 Fr 05.11.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
im Text steht aber auch, dass ein anderes Bild gewählt wird.
Deine Berechnung ist daher sicher falsch.
Gruß Sax.
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Hallo abakus,
ich habe deinen Rat befolgt und habe die verschiedenen Zweige gemalt und mit Wahrscheinlichkeiten versehen.
Pfad1:
original wird gewählt (12/15)-->Experte sagt Fälschung (1/10)-->das neu gewählte Bild ist ein Original(11/14)
Pfad2:
Fälschung wird ausgewählt(3/15)-->Experte sagt Fäschung(9/10)-->das neu gewählte Bild ist ein Original(12/14)
Darf man jetzt einfach alle Wahrscheinlichkeiten jeweils von Pfad1 und Pfad2 multplizieren und diese Wahrscheinlichkeit addieren?
Hmmm..als Tipp wurde uns in der Übung gegeben, dass man unter anderem die Bayes Regel anwenden soll...
Danke schonmal für die Hilfe!
Grüße
Lysin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:10 So 07.11.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
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> Pfad1:
> original wird gewählt (12/15)-->Experte sagt Fälschung
> (1/10)-->das neu gewählte Bild ist ein Original(11/14)
>
> Pfad2:
> Fälschung wird ausgewählt(3/15)-->Experte sagt
> Fäschung(9/10)-->das neu gewählte Bild ist ein
> Original(12/14)
>
> Darf man jetzt einfach alle Wahrscheinlichkeiten jeweils
> von Pfad1 und Pfad2 multplizieren und diese
> Wahrscheinlichkeit addieren?
Ja, beachte aber, dass nicht alle Leute ein zweites Bild auswählen, sondern nur diejenigen, bei denen eine Fälschung konstatiert wurde. Deine Grundgesamtheit, auf die du die wie oben angegeben ausgerechnete Wahrscheinlichkeit beziehen musst ändert sich also dementsprechend (siehe Tipp "Bayes").
> Hmmm..als Tipp wurde uns in der Übung gegeben, dass man
> unter anderem die Bayes Regel anwenden soll...
>
> Danke schonmal für die Hilfe!
> Grüße
> Lysin
>
Gruß Sax.
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Hallo Sax,
Ja, beachte aber, dass nicht alle Leute ein zweites Bild
> auswählen, sondern nur diejenigen, bei denen eine
> Fälschung konstatiert wurde. Deine Grundgesamtheit, auf
> die du die wie oben angegeben ausgerechnete
> Wahrscheinlichkeit beziehen musst ändert sich also
> dementsprechend (siehe Tipp "Bayes").
hmm...also eigentlich habe ich gedacht, dass ich miteinbezogen habe, dass nur die Leute gezählt werden, bei denen der Experte gesagt hat, das gewählte Gemälde wäre eine Fälschung..
Ich weiß nicht so recht wie ich die Bayes-Regel anwenden soll, weil ich hier einen Baum habe mit unterschiedlich langen Pfade?
Danke für die Hilfe.
Britta_lernt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:06 Mo 08.11.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
die eigentliche Bayes'sche Umkehrformel brauchen wir hier tatsächlich nicht, aber den Begriff der "bedingten Wahrscheinlichkeit".
Was du berechnet hast, ist die Wahrscheinlichkeit, dafür, dass das zweite Bild ein Original ist und der Experte Fälschung sagte; du solltest aber die W. berechnen, dass das zweite Bild ein Original ist unter der Bedingung dass der Experte Fäschung sagte. Das ist etwas anderes.
Tipp 1 : Wiederhole das Kapitel über bedingte Wahrscheinlichkeit.
Tipp 2 : Nimm bei deinem Baum an, dass 350 Leute das dargestellte Procedere durchlaufen. Für wie viele werden dann im Durchschnitt die jeweiligen Alternativen zutreffen ? Am Ende siehst du, was die gesuchte W. ist.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:24 Mo 08.11.2010 | | Autor: | Tornetz |
11/27, sprich ca. 41%?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:28 Mo 08.11.2010 | | Autor: | Sax |
warum behälst du nicht das erste Bild?
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Hi Sax,
> Was du berechnet hast, ist die Wahrscheinlichkeit, dafür,
> dass das zweite Bild ein Original ist und der Experte
> Fälschung sagte; du solltest aber die W. berechnen, dass
> das zweite Bild ein Original ist unter der Bedingung dass
> der Experte Fäschung sagte. Das ist etwas anderes.
>
> Tipp 1 : Wiederhole das Kapitel über bedingte
> Wahrscheinlichkeit.
>
> Tipp 2 : Nimm bei deinem Baum an, dass 350 Leute das
> dargestellte Procedere durchlaufen. Für wie viele werden
> dann im Durchschnitt die jeweiligen Alternativen zutreffen
> ? Am Ende siehst du, was die gesuchte W. ist.
>
> Gruß Sax.
Also ich denke ich habe verstanden, was du versucht hast mir zu erklären. Nur nochmal zum Verständnis: Also meine Rechnung war falsch, aber mein Baum ist soweit in Ordnung?
Also habe mir nochmal bedingte Warhscheinlichkeiten angeschaut:
1.)Die Wahrscheinlichkeit eine Fälschung zu wählen ist 3/15.
2.) Wenn der Experte sagt, dass es sich um eine Fälschung handelt, ist das zu 9/10 auch so.
Mein Ergebnisraum wäre dann E= {1,...,15} mit p(Fälschungziehen)=3/15
Ereignis A = ?
Ereignis B = ?
Dann müsste man rechnen P(B|A)= [mm] \bruch{P(A \cap B)}{P(A)}
[/mm]
Ich habe verstanden, was zu tun ist, aber ich kanns nicht auf die Aufgabe anwenden. Wie bringe ich jetzt die Originale mit ein?
Vielen dank für deine Hilfe.
Grüße Britta_lernt
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:16 Mo 08.11.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Dann müsste man rechnen P(B|A)= $ [mm] \bruch{P(A \cap B)}{P(A)} [/mm] $
Genau !
A ist hier "Experte sagt 'Fälschung' ", B ist "Zweites Bild ist Original".
P(A [mm] \cap [/mm] B) hast du schon, jetzt noch P(A) ausrechnen, einsetzen und fertig.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:59 Mo 08.11.2010 | | Autor: | Shurakai |
Hi Sax!
Danke für deine Antworten. Ich habe zwei Fragen:
1.) Ich habe jetzt P(A [mm] \cap [/mm] B) als "Wahrscheinlichkeit, dass der Experte zunächst sagt 'Fälschung' UND ich anschließend ein Original wähle" gewählt. Ist das so in Ordnung? Mein Problem ist, dass ich A eher als Zufallsvariable sehe, nicht als wirkliche Ereignismenge, und ich mir folglich mit dem Schnitt an sich schwer tue. Wie könnte ich A [mm] \cap [/mm] B formal berechnen?
Zum Ergebnis: P(A [mm] \cap [/mm] B) = [mm] \bruch{1}{10} [/mm] * [mm] \bruch{12}{15} [/mm] * [mm] \bruch{12}{14} [/mm] + [mm] \bruch{9}{10} [/mm] * [mm] \bruch{3}{15} [/mm] * [mm] \bruch{11}{14} [/mm] = [mm] \bruch{441}{2100}
[/mm]
P(A) = [mm] \bruch{9}{10} [/mm] * [mm] \bruch{3}{15} [/mm] + [mm] \bruch{1}{10} [/mm] * [mm] \bruch{12}{15} [/mm]
(Das sind die W., dass er sich korrekt entscheidet bei Wahl einer Fälschung bzw. dass er sich falsch entscheidet bei Wahl eines Originals)
Ich weiß nicht ob du drüber gerechnet hast, aber ich habe dort jetzt 80,769% heraus.
Meine 2. Frage lautet: Wieso kann ich nicht einfach ein Modell wählen, in dem ich alle Paare (i, j) von zulässigen Ziehungen betrachte und dann entsprechend abzähle, wieviele "gute" Paare es gibt? (Dort hätte ich nämlich etwas mehr als 78% W. heraus.) Ich wäre dir sehr dankbar, wenn du den Unterschied nochmal erläutern könntest - gerne auch mit einem kleinen Hinweis.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:19 Di 09.11.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
> P(A $ [mm] \cap [/mm] $ B) = $ [mm] \bruch{1}{10} [/mm] $ * $ [mm] \bruch{12}{15} [/mm] $ * $ [mm] \bruch{12}{14} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{9}{10} [/mm] $ * $ [mm] \bruch{3}{15} [/mm] $ * $ [mm] \bruch{11}{14} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{441}{2100} [/mm] $
Hier hast du die Faktoren [mm] \bruch{12}{14} [/mm] und [mm] \bruch{11}{14} [/mm] vertauscht, im ersten Summanden ist doch schon ein Original weg, also sind es noch 11, im zweiten ist eine Fälschung weg, also sind es noch 12 Originale.
> P(A) = $ [mm] \bruch{9}{10} [/mm] $ * $ [mm] \bruch{3}{15} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{1}{10} [/mm] $ * $ [mm] \bruch{12}{15} [/mm] $
Genau !
Ich hab dir noch mal meinen Baum (soweit relevant) gezeichnet und auch den Tipp mit den 350 Leuten eingearbeitet :
[Dateianhang nicht öffentlich]
Von den 91 Leuten, die ein zweites Bild wählen, erwischen76 ein Original.
Zur zweiten Frage :
Kannst du mir genauer erklären, was du mit (i,j) als Paaren von zulässigen Ziehungen meinst ? Wenn du mit Abzählen von Ereignissen arbeitest, musst du immer sicherstellen, dass alle Ereignisse dieselbe Wahrscheinlichkeit haben. Bist du sicher, dass das der Fall ist ?
Gruß Sax.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo Sax,
Also kommt 83,5% raus?
Vielen Dank für deine Hilfe.
Grüße
Britta_lernt
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:29 Di 09.11.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
ja, genau so ist es.
Gruß Sax.
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