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| Aufgabe | Zeigen Sie für drei Ereignisse $ [mm] E_1 [/mm] , [mm] E_2 [/mm] und [mm] E_3 \subseteq \Omega [/mm] $, dass falls $ [mm] (E_1 \cap E_2)=\emptyset [/mm] , [mm] (E_2 \cap E_3)=\emptyset [/mm] $
$ [mm] P(E_1 \cup E_2 \cup E_3)=P(E_1)+P(E_2)+P(E_3)-P(E_1 \cap E_3) [/mm] $
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Hi,
also ich bin auf die Lösung gekommen. Man muss im Prinzip für $ [mm] (E_1 \cup E_2 \cup E_3) [/mm] $ durch umgruppieren folgendes schreiben $ [mm] (E_1 \cup E_3) \cup E_2 [/mm] $ dann das Axiom der Wahrscheinlichkeit anwenden, nämlich, dass wenn $ [mm] (E_1 \cup E_3) \cap E_2=\emptyset [/mm] $ dann [mm] $P(E_1 \cup E_3)+P(E_2) [/mm] $
Meine Frage ist jetzt folgende: Ich habe dies herausgefunden, allerdings erst im zweiten Anlauf, ich habe erst falsch umgruppiert und kam dadurch zum falschen ergebnis. Ich kann gerade noch nicht verstehen, wie ich von vorne herein sehen soll, wie ich umgruppieren muss. Kann mir dort jemand auf die Sprünge helfen ? Ist es wegen $ [mm] (E_1 \cup E_3) \cap E_2=\emptyset [/mm] $ das folgt ja aus $ [mm] (E_1 \cap E_2)=\emptyset [/mm] , [mm] (E_2 \cap E_3)=\emptyset [/mm] $ ??
Lg,
exeqter
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Hallo exe,
eigentlich solltest du bei jeder Umformung zum Ziel kommen, nur einmal geht es leichter und mal schwerer......
zeig doch mal, wo du nicht weitergekommen bist, dann schauen wir mal, wie es da weitergegangen wäre.
MFG,
Gono.
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Hi,
also mein erste versuch sah so aus :
$ [mm] (E_1 \cup E_2 \cup E_3) [/mm] $ =$ [mm] (E_1 \cup E_2) \cup E_3) [/mm] $
$ [mm] (E_1 \cup E_2) [/mm] = [mm] (E_1 \cap E_2') \cup (E_1 \cap E_2) \cup (E_1' \cap E_2) [/mm] $
[mm] P(E_1 \cup E_2)=P(E_1 \cap E_2')+P(E_1 \cap E_2)+P(E_1' \cap E_2)
[/mm]
Jetzt kann ich für [mm] E_1 [/mm] folgendes schreiben:
$ [mm] E_1=(E_1 \cap E_2') \cup ((E_1 \cap E_2) [/mm] $
$ [mm] P(E_1)=P(E_1 \cap E_2')+P(E_1 \cap E_2) [/mm] $
$ [mm] P(E_1 \cap E_2')=P(E_1)-P(E_1 \cap E_2) [/mm] $
Für [mm] E_2 [/mm] :
$ [mm] E_2=(E_1' \cap E_2) \cup ((E_1 \cap E_2) [/mm] $
$ [mm] P(E_2)=P(E_1' \cap E_2)+P(E_1 \cap E_2) [/mm] $
$ [mm] P(E_1 \cap E_2')=P(E_2)-P(E_1 \cap E_2) [/mm] $
Daraus folgt dann:
$ [mm] P(E_1 \cup E_2)=P(E_1)-P(E_1 \cap E_2) [/mm] + [mm] P(E_1 \cap E_2) [/mm] + [mm] P(E_2)-P(E_1 \cap E_2) =P(E_1)+P(E_2)-P(E_1 \cap E_2) [/mm] $ und da $ [mm] (E_1 \cap E_2)=\emptyset =P(E_1)+P(E_2) [/mm] $
So und ab da komme ich dann nicht weiter... weil [mm] (E_1 \cup E_2) \cap E_3) [/mm] nicht die leere Menge ergibt, denn [mm] E_1 [/mm] hat mit [mm] E_3 [/mm] gemeinsame Elemente.
lg,
exeqter
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Hiho,
soweit, so gut, dann machen wir mal weiter:
> [mm]P(E_1 \cup E_2)=P(E_1)-P(E_1 \cap E_2) + P(E_1 \cap E_2) + P(E_2)-P(E_1 \cap E_2) =P(E_1)+P(E_2)-P(E_1 \cap E_2)[/mm]
> und da [mm](E_1 \cap E_2)=\emptyset =P(E_1)+P(E_2)[/mm]
[mm] $P(E_1 \cup E_2 \cup E_3) [/mm]
= [mm] P(E_1 \cup E_2) [/mm] + [mm] P(E_3) [/mm] - [mm] P((E_1 \cup E_2)\cap E_3) [/mm]
= [mm] P(E_1)+P(E_2) [/mm] + [mm] P(E_3) [/mm] - [mm] P((E_1 \cap E_3) \cup (E_2 \cap E_3))
[/mm]
= [mm] P(E_1)+P(E_2) [/mm] + [mm] P(E_3) [/mm] - [mm] P((E_1 \cap E_3))$
[/mm]
Fertig....
MFG,
Gono.
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Hi,
und danke für deine antworten, ich habe nur noch eine frage:
> Hiho,
>
> soweit, so gut, dann machen wir mal weiter:
>
> > [mm]P(E_1 \cup E_2)=P(E_1)-P(E_1 \cap E_2) + P(E_1 \cap E_2) + P(E_2)-P(E_1 \cap E_2) =P(E_1)+P(E_2)-P(E_1 \cap E_2)[/mm]
> > und da [mm](E_1 \cap E_2)=\emptyset =P(E_1)+P(E_2)[/mm]
>
>
> [mm]$P(E_1 \cup E_2 \cup E_3)[/mm]
> = [mm]P(E_1 \cup E_2)[/mm] + [mm]P(E_3)[/mm] - [mm]P((E_1 \cup E_2)\cap E_3)[/mm]
Woher weißt du hier, dass du [mm] P((E_1 \cup E_2)\cap E_3) [/mm] abziehen musst ?
> = [mm]P(E_1)+P(E_2)[/mm] + [mm]P(E_3)[/mm] - [mm]P((E_1 \cap E_3) \cup (E_2 \cap E_3))[/mm]
>
> = [mm]P(E_1)+P(E_2)[/mm] + [mm]P(E_3)[/mm] - [mm]P((E_1 \cap E_3))$[/mm]
>
> Fertig....
>
> MFG,
> Gono.
lg,
exe
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:41 Fr 23.10.2009 | | Autor: | MontBlanc |
hi,
habs gerade gerafft. danke für deine nette hilfe.
gute nacht!!
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