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| Aufgabe | [mm] $f(x)=x*e^{-x^2/2}$ [/mm] mit [mm] $D(f)=\IR^{\ge 0}$ [/mm] ist die Randfunktion der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer nicht diskreten Zufallsvariable [mm] $X\ge [/mm] 0$. Die Fläche zwischen der Randfunktion und der x-Achse im Intervall $[a;b]$ gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass $X$ im Intervall $[a;b]$ liegt. Damit $f$ für [mm] $x\ge [/mm] 0$ eine Wahrscheinlichkeitsverteilung beschreiben kann, muss eine Bedingung für die Fläche zwischen dem Graphen von $f$ und x-Achse erfüllt sein.
Geben Sie diese Bedingung an und zeigen Sie, dass sie erfüllt ist.
Berechnen Sie [mm] $P(0\le [/mm] X [mm] \le [/mm] 1)$ und $P(4<X)$.
Für welches Intervall $[0;t]$ ist die Wahrscheinlichkeit $0{,}5$?
Berechnen Sie den Extrem- und den Wendepunkt von f. |
Hallo!
Leider weiß ich nicht wie ich anfangen soll und verstehe die Aufgabe überhaupt nicht :(.
Danke schonmal für eure Hilfe! lg
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Hallo,
die Bedingung für die Wahrscheinlichkeitsdichte ist, dass das bestimmte Integral über den Integrationsbereich (Verteilungsfunktion) 1 ergeben muss (Normierungsbedingung); diese Bedingung ist erfüllt:
[mm] $\integral_{0}^{\infty} x*e^{-x^2/2}\, [/mm] dx = [mm] \left[-e^{-x^2/2}\right]_{0}^{\infty}=1$
[/mm]
Dann musst Du noch berechnen
$P(0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1) = [mm] \integral_{0}^{1} x*e^{-x^2/2}\, [/mm] dx = [mm] \left[-e^{-x^2/2}\right]_{0}^{1}$
[/mm]
und
$P(4 [mm] \le [/mm] x [mm] \le \infty) [/mm] = [mm] \integral_{4}^{\infty} x*e^{-x^2/2}\, [/mm] dx = [mm] \left[-e^{-x^2/2}\right]_{4}^{\infty}$
[/mm]
und hier nach t auflösen:
$P(0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] t) = [mm] \integral_{0}^{t} x*e^{-x^2/2}\, [/mm] dx = [mm] \left[-e^{-x^2/2}\right]_{0}^{t}=0,5$
[/mm]
Für Extrem- und Wendepunkte deiner Wahrscheinlichkeitsverteilung musst Du die Ableitungen bilden.
LG, Martinius
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dankeschön, du hast mir ein gutes stück weiter geholfen =)
liebe grüße und noch einen schönen abend
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